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事件空間中一類擬分數階Birkhoff系統的Noether定理

丁金鳳 張毅

引用本文:
Citation:

事件空間中一類擬分數階Birkhoff系統的Noether定理

    通訊作者: 丁金鳳, 29302298@qq.com
  • 中圖分類號: O316

Noether’s theorems for a type of quasi–fractional Birkhoffian systems in even space

    Corresponding author: DING Jin-feng, 29302298@qq.com ;
  • CLC number: O316

  • 摘要: 基于按指數律拓展的分數階積分,研究事件空間中擬分數階Birkhoff系統的Noether對稱性與守恒量. 首先,基于按指數律拓展的分數階積分定義,給出事件空間中擬分數階Pfaff作用量,建立事件空間中擬分數階Pfaff–Birkhoff原理,并導出Pfaff–Birkhoff–d’Alembert原理,得到事件空間中擬分數階Birkhoff系統的運動微分方程. 其次,計算Pfaff作用量的全變分,給出事件空間中擬分數階Pfaff作用量的兩個變分公式. 建立事件空間中擬分數階Birkhoff系統的Noether對稱性的定義和判據. 最后,建立事件空間中擬分數階Birkhoff系統的Noether定理,揭示了系統的Noether對稱性與守恒量之間的內在聯系. 如果分數階時間積分參數γ=1,則該定理退化為經典的事件空間中Birkhoff系統的Noether定理. 文末舉例說明結果的應用.
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出版歷程
  • 收稿日期:  2019-06-17
  • 錄用日期:  2020-05-17
  • 網絡出版日期:  2020-06-08
  • 刊出日期:  2020-07-01

事件空間中一類擬分數階Birkhoff系統的Noether定理

    通訊作者: 丁金鳳, 29302298@qq.com
  • 1. 蘇州科技大學 數理學院,江蘇 蘇州 215009
  • 2. 蘇州科技大學 天平學院,江蘇 蘇州 215011
  • 3. 蘇州科技大學 土木工程學院,江蘇 蘇州 215011

摘要: 基于按指數律拓展的分數階積分,研究事件空間中擬分數階Birkhoff系統的Noether對稱性與守恒量. 首先,基于按指數律拓展的分數階積分定義,給出事件空間中擬分數階Pfaff作用量,建立事件空間中擬分數階Pfaff–Birkhoff原理,并導出Pfaff–Birkhoff–d’Alembert原理,得到事件空間中擬分數階Birkhoff系統的運動微分方程. 其次,計算Pfaff作用量的全變分,給出事件空間中擬分數階Pfaff作用量的兩個變分公式. 建立事件空間中擬分數階Birkhoff系統的Noether對稱性的定義和判據. 最后,建立事件空間中擬分數階Birkhoff系統的Noether定理,揭示了系統的Noether對稱性與守恒量之間的內在聯系. 如果分數階時間積分參數γ=1,則該定理退化為經典的事件空間中Birkhoff系統的Noether定理. 文末舉例說明結果的應用.

English Abstract

  • 在事件空間中研究約束力學系統的運動,由于時間和描述位形的廣義坐標處于相同地位,因而其研究不僅具有物理意義,而且具有幾何意義. 1960年,Synge在其著作中研究了事件空間中完整保守系統動力學[1]. Rumjantsev將結果推廣到非完整力學系統,導出了事件空間中非完整系統帶乘子形式的Lagrange方程[2]. 梅鳳翔發展了這一思想,研究了事件空間中完整力學系統和非完整力學系統的積分方法以及對稱性與守恒量理論[3-6]. 2008年,張毅提出并開展了事件空間中Birkhoff系統動力學的研究[7],建立了事件空間中Birkhoff系統的Pfaff-Birkhoff原理和Birkhoff參數方程及其第一積分. 此后,他還研究了事件空間中Birkhoff系統的Noether對稱性、Lie對稱性和Mei對稱性以及共形不變性[8-10],并研究了基于Caputo分數階導數下的廣義Birkhoff系統的Noether對稱性[11],建立了積分事件空間中Birkhoff系統的Poisson理論和Jacobi最終乘子法[12]、場方法[13]等. 但是,所有這些研究未涉及事件空間中擬分數階Birkhoff系統. 本文將基于按指數律拓展的分數階積分進一步研究事件空間中擬分數階Birkhoff系統動力學,導出系統的變分原理和運動微分方程,建立事件空間中Birkhoff系統的Noether定理.

    擬分數階動力學的研究可以追溯到El?Nabulsi的工作. El?Nabulsi于2005年基于分數階積分的Riemann?Liouville定義提出了非保守系統Lagrange力學的動力學建模方法[14]. 此后,又將Riemann?Liouville定義推廣為按周期律拓展的分數階積分[15]和按指數律拓展的分數階積分[16]. 將泛函作用量取作上述分數階積分而建立的變分問題,可稱之為擬分數階動力學模型或El?Nabulsi模型. 由此而得到的動力學方程形式上與經典的非保守系統動力學方程相似,不同于一般的分數階模型,其中與非保守力對應的廣義分數階外力項不出現分數階導數,且分數階時間積分只依賴于一個參數,而在一般分數階模型中會出現多個分數階參數[14]. 近年來,基于擬分數階模型的約束系統動力學及其對稱性研究取得了一些進展[17-22]. 而事件空間中擬分數階動力學的研究尚未見文獻報道.

    • 假設Birkhoff系統由 $2n$ 個變量 ${a^{\mu} }\left( {\mu = 1, \cdots ,2n} \right)$ 來確定. 建立 $\left( {2n + 1} \right)$ 維事件空間, 此空間中的點的坐標為 ${a^1},{a^2}, \cdots ,{a^{2n}},t$. 引入記號[5]

      $\qquad{x_1} = t,\; \; \,\,{x_{\mu + 1}} = {a^{\mu} }\,\,,\,\,\left( {\mu = 1,2, \cdots ,2n} \right),$

      那么,所有變量 ${x_{\alpha} }\left( {\alpha = 1,2, \cdots ,2n + 1} \right)$ 可作為某參數 $\tau $ 的已知函數. 令 ${x_{\alpha} } = {x_{\alpha} }\left( \tau \right)$${C^2}$ 類曲線,使得 ${x'_{\alpha} }\left( \tau \right) = \dfrac{{{\rm{d}}{x_{\alpha} }}}{{{\rm{d}}\tau }}$ 不同時為 $0$,有

      $\qquad{\dot x_{\alpha} } = \frac{{{\rm{d}}{x_{\alpha} }}}{{{\rm{d}}t}} = \frac{{{{x_{\alpha}'} }}}{{{{x_1'}}}}.$

      假設系統在位形空間中的Birkhoff函數為 $B = B\left( {t,{a^{\mu} }} \right)$,Birkhoff函數組為 ${R_{\nu} } = {R_{\nu} }\left( {t,{a^{\mu} }} \right)$ $\left( {\nu = 1,2, \cdots ,2n} \right)$,則事件空間中的Birkhoff函數組 ${B_{\beta} }\left( {{x_{\alpha} }} \right)\,\; \left( {\beta = 1,2, \cdots ,2n + 1} \right)$[7]

      $\qquad \begin{split} {B_1}\left( {{x_{\alpha} }} \right) &= - B\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_{2n + 1}}} \right),\\ {B_{\mu + 1}}\left( {{x_{\alpha} }} \right) &= {R_{\mu} }\left( {{x_1},{x_2}, \cdots ,{x_{2n + 1}}} \right),\,\left( {\mu = 1,2, \cdots ,2n} \right). \end{split}$

      基于按指數律拓展的分數階積分[16],事件空間中擬分數階Pfaff作用量可表為

      $\qquad A = \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {{B_{\beta} }\left( {{x_{\alpha} }\left( \vartheta \right)} \right)} {x'_{\beta} }\left( \vartheta \right){\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}}{\rm{d}}\vartheta ,$

      其中,$\Gamma \left( \gamma \right) = \displaystyle \int_0^{\infty} {{e^{ - y}}{y^{\gamma - 1}}{\rm{d}}y} $ 是伽馬函數,$0 < \gamma \leqslant 1$,$\vartheta $ 是固有參數,$\tau $ 是觀察者參數,且 $\vartheta \ne \tau $[16]. 事件空間中擬分數階Pfaff–Birkhoff原理可表示為

      $\qquad {\rm{\delta}} A = 0,$

      $\qquad {\rm{d}}{\rm{\delta}} {x_{\alpha} } = {\rm{\delta}} {\rm{d}}{x_{\alpha} }\,\,,\,\,\left( {\alpha = 1,2, \cdots ,2n + 1} \right),$

      $\qquad \left. {{\rm{\delta}} {x_{\alpha} }} \right|{\,_{\zeta = {\tau _1}}}\, = \left. {{\rm{\delta}} {x_{\alpha} }} \right|{\,_{\zeta = {\tau _2}}} = 0\,\,\,,\,\,\,\left( {\alpha = 1,2, \cdots ,2n + 1} \right).$

      由上述原理,經變分和微分運算,我們得到

      $\qquad \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {\left\{ {\left( {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}} - \frac{{\partial {B_{\alpha} }}}{{\partial {x_{\beta} }}}} \right){{x_{\beta}'} } - \frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{B_{\alpha} }} \right\}{{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}{\rm{\delta}} {x_{\alpha} }{\rm{d}}\vartheta } = 0.$

      由于積分區間 $\left[ {{\tau _1},{\tau _2}} \right]$ 的任意性,由式(8)得到

      $\qquad \left\{ {\left( {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}} - \frac{{\partial {B_{\alpha} }}}{{\partial {x_{\beta} }}}} \right){{x_{\beta}'} }\left( \vartheta \right) - \frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{B_{\alpha} }} \right\}{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}}{\rm{\delta}} {x_{\alpha} } = 0,$

      式(9)可稱為事件空間中擬分數階Pfaff?Birkhoff?d’Alembert原理. 由 ${\rm{\delta}} {x_{\alpha} }$ 的獨立性,可得

      $\qquad \left( {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}} - \frac{{\partial {B_{\alpha} }}}{{\partial {x_{\beta} }}}} \right){x'_{\beta} }\left( \vartheta \right) = \frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{B_{\alpha} }\,,\,\,\,\,\left( {\alpha ,\beta = 1,2, \cdots ,2n + 1} \right).$

      方程(10)是基于按指數律拓展的事件空間中擬分數階Birkhoff系統的運動微分方程. 如果 $\gamma = 1$,則方程(10)退化為事件空間中Birkhoff系統的運動微分方程[7].

    • 引入參數 $\vartheta $ 和事件空間中坐標 ${x_{\alpha} }$ 的無限小變換

      $\qquad \bar \vartheta = \vartheta + \Delta \vartheta ,\; \; \,\,{\bar x_{\alpha} }\left( {\bar \vartheta } \right) = {x_{\alpha} }\left( \vartheta \right) + \Delta {x_{\alpha} },\,\,\,\left( {\alpha = 1,2, \cdots ,2n + 1} \right),$

      或其展開式

      $\qquad \bar \vartheta = \vartheta + {\varepsilon _{\sigma} }\xi _0^{\sigma} \left( {\vartheta ,{x_{\beta} }} \right),\,{\bar x_{\alpha} }\left( {\bar \vartheta } \right) = {x_{\alpha} }\left( \vartheta \right) + {\varepsilon _{\sigma} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} \left( {\vartheta ,{x_{\beta} }} \right),\left( {\alpha = 1,2, \cdots ,2n + 1;\sigma = 1,2, \cdots ,r} \right),$

      其中 ${\varepsilon _{\sigma} }\left( {\sigma = 1,2, \cdots ,r} \right)$ 為無限小參數,$\xi _0^{\sigma} ,\xi _{\alpha} ^{\sigma} $ 為無限小變換的生成函數.

      計算擬分數階Pfaff作用量(4)的全變分[5],我們有

      $\qquad \begin{split} \Delta A =& \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {\left\{ {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}} \right.} \left[ {\left( {{B_{\alpha} }{{x_{\alpha}'} }\Delta \vartheta + {B_{\alpha} }{\rm{\delta}} {x_{\alpha} }} \right){{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}} \right] + \\ &\left. {\left[ {\left( {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}} - \frac{{\partial {B_{\alpha} }}}{{\partial {x_{\beta} }}}} \right){{x_{\beta} '}}\left( \vartheta \right) - \frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{B_{\alpha} }} \right]{{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}{\rm{\delta}} {x_{\alpha} }} \right\}{\rm{d}}\vartheta \end{split}$

      以及

      $\qquad \begin{split}\Delta A =& \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {\left\{ {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}}{{x'}_{\beta} }\Delta {x_{\alpha} } + {B_{\alpha} }\Delta {{x_{\alpha}'} }} \right.} + \\ &\left. {{B_{\alpha} }{{x_{\alpha}'} }\left[ {\frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}\Delta \vartheta + \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}\Delta \vartheta } \right]} \right\}{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}}{\rm{d}}\vartheta , \end{split}$

      注意到

      $\qquad {\rm{\delta}} {x_{\alpha} } = {\varepsilon _{\sigma} }\left( {\xi _{\alpha} ^{\sigma} - {{x'}_{\alpha} }\xi _0^{\sigma} } \right) = {\varepsilon _{\sigma} }\bar \xi _{\alpha} ^{\sigma}, $

      則(13)式可表為

      $\qquad \begin{split} \Delta A =& \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {{\varepsilon _{\sigma} }\left\{ {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}\left[ {{B_{\alpha} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} {{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}} \right]} \right.} + \\ &\left. {\left[ {\left( {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}} - \frac{{\partial {B_{\alpha} }}}{{\partial {x_{\beta} }}}} \right){{x_{\beta}'} }\left( \vartheta \right) - \frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{B_{\alpha} }} \right]{{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}\bar \xi _{\alpha} ^{\sigma} } \right\}{\rm{d}}\vartheta \end{split}. $

    • 如果滿足

      $\qquad \Delta A = 0,$

      則稱無限小變換(11)為Noether意義下的對稱變換.

      如果滿足

      $\qquad \Delta A = - \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}\left( {\Delta {G_N}} \right)} {\rm{d}}\vartheta ,$

      其中 $\Delta {G_N} = {\varepsilon _{\sigma} }G_N^{\sigma} \left( {\vartheta ,{x_{\alpha} }} \right)$,這里 $G_N^{\sigma} \left( {\vartheta ,{x_{\alpha} }} \right)$ 稱為規范函數[5],則無限小變換(7)為Noether意義下的準對稱變換.

      由式(14)和(17),得到對稱變換的判據為

      $\qquad \frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}}{x'_{\beta} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} + {B_{\alpha} }\frac{{{\rm{d}}\xi _{\alpha} ^{\sigma} }}{{{\rm{d}}\vartheta }} + {B_{\alpha} }{x_{\alpha}' }\frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}\xi _0^{\sigma} = 0\,\,,\,\,\left( {\sigma = 1,2, \cdots r} \right),$

      $\sigma = 1$, 式(19)給出Noether等式

      $\qquad \frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}}{x_{\beta}' }{\xi _{\alpha} } + {B_{\alpha} }\frac{{{\rm{d}}{\xi _{\alpha} }}}{{{\rm{d}}\vartheta }} + {B_{\alpha} }{x_{\alpha}' }\frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{\xi _0} = 0.$

      由式(18)和(14),得到準對稱變換的判據為

      $\qquad \begin{split}\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}}{x_{\beta}' }\xi _{\alpha} ^{\sigma} + {B_{\alpha} }\frac{{{\rm{d}}\xi _{\alpha} ^{\sigma} }}{{{\rm{d}}\vartheta }} + {B_{\alpha} }{x_{\alpha}' }\frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}\xi _0^{\sigma} + \frac{{{\rm{d}}G_N^{\sigma} }}{{{\rm{d}}\vartheta }}{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{1 - \gamma }} = 0,&\\ \left( {\sigma = 1,2, \cdots r} \right),& \end{split}$

      $\sigma = 1$, 式(21)給出廣義Noether等式

      $\qquad \frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}}{x'_{\beta} }{\xi _{\alpha} } + {B_{\alpha} }\frac{{{\rm{d}}{\xi _{\alpha} }}}{{{\rm{d}}\vartheta }} + {B_{\alpha} }{x'_{\alpha} }\frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{\xi _0} + \frac{{{\rm{d}}{G_N}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{1 - \gamma }} = 0.$

      利用Noether等式(20)可以判斷系統的Noether對稱性,利用廣義Noether等式(22)可以判斷系統的Noether準對稱性.

    • 對于基于按指數律拓展的事件空間中擬分數階Birkhoff系統(10),由Noether對稱性可直接導出Noether守恒量,有如下定理.

      定理 1 對于事件空間中擬分數階Birkhoff系統(10),如果生成函數 $\xi _0^{\sigma} $$\xi _{\alpha} ^{\sigma} $ 滿足Noether等式(20),則無限小變換(11)相應于系統的Noether對稱性,于是系統存在 $r$ 個線性獨立的守恒量,形如

      $\qquad I_N^{\sigma} = {B_{\alpha} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} {\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}} = {c^{\sigma }} = {\rm{const,}}\; \; \; \; \left( {\sigma = 1,2, \cdots ,r} \right).$

      證明 由于生成函數 $\xi _{\alpha} ^{\sigma} $ 滿足Noether等式(20),則 $\Delta A = 0$,考慮到式(16),得到

      $\qquad \begin{split} &\frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}\left[ {{B_{\alpha} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} {{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}} \right] +\\ &\left[ {\left( {\frac{{\partial {B_{\beta} }}}{{\partial {x_{\alpha} }}} - \frac{{\partial {B_{\alpha} }}}{{\partial {x_{\beta} }}}} \right){{x'}_{\beta} }\left( \vartheta \right) - \frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{B_{\alpha} }} \right]{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}}\bar \xi _{\alpha} ^{\sigma} = 0. \end{split}$

      將方程(10)代入(24)式,得到

      $\qquad \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}\left[ {{B_{\alpha} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} {{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}} \right] = 0.$

      積分可得守恒量(23). 于是定理1得證.

      同理可得如下定理.

      定理 2 對于事件空間中擬分數階Birkhoff系統(10),如果生成函數 $\xi _0^{\sigma} $$\xi _{\alpha} ^{\sigma} $,以及規范函數 $G_N^{\sigma} \left( {\vartheta ,{x_{\alpha} }} \right)$ 滿足廣義Noether等式(22),則無限小變換(11)相應于系統的Noether準對稱性,于是系統存在 $r$ 個線性獨立的守恒量,形如

      $\qquad I_N^{\sigma} = {B_{\alpha} }\xi _{\alpha} ^{\sigma} {\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}} + G_N^{\sigma} = {c^{\sigma }} = {\rm{const,}}\; \; \; \; \left( {\sigma = 1,2, \cdots ,r} \right).$

      定理1和定理2可稱為基于按指數律拓展的事件空間中擬分數階Birkhoff系統(10)的Noether定理. 根據上述定理,可由事件空間中擬分數階Birkhoff系統的Noether對稱性找到相應的守恒量. 如果 $\gamma = 1$,則定理退化為事件空間中Birkhoff系統的Noether定理[8].

    • 例 設事件空間中擬分數階Pfaff作用量為

      $\qquad A = \frac{1}{{\Gamma \left( \gamma \right)}}\int_{{\tau _1}}^{{\tau _2}} {\left\{ {\left[ { - {x_3} - \frac{1}{2}\left( {x_4^2 + x_5^2} \right)} \right]{{x'}_1} + {x_4}{{x'}_2} + {x_5}{{x'}_3}} \right\}{{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)}^{\gamma - 1}}d\vartheta } ,$

      試研究此事件空間中擬分數階Birkhoff系統的Noether對稱性與守恒量.

      由式(27)可得

      $\qquad {B_1} = - {x_3} - \frac{1}{2}\left( {x_4^2 + x_5^2} \right),\,\,\,{B_2} = {x_4},\,\,\,{B_3} = {x_5},\,\,\,{B_4} = {B_5} = 0.$

      廣義Noether等式(22)給出

      $\qquad \begin{split} &- {x'_1}\left( {{\xi _3} + {x_4}{\xi _4} + {x_5}{\xi _5}} \right) + {x'_2}{\xi _4} + {x'_3}{\xi _5} - \left[ {{x_3} + \frac{1}{2}\left( {x_4^2 + x_5^2} \right)} \right]\frac{{{\rm{d}}{\xi _1}}}{{{\rm{d}}\vartheta }} + {x_4}\frac{{{\rm{d}}{\xi _2}}}{{{\rm{d}}\vartheta }} + {x_5}\frac{{{\rm{d}}{\xi _3}}}{{{\rm{d}}\vartheta }} + \\ &\left\{ {\left[ { - {x_3} - \frac{1}{2}\left( {x_4^2 + x_5^2} \right)} \right]{{x'}_1} + {x_4}{{x'}_2} + {x_5}{{x'}_3}} \right\}\frac{{\left( {1 - \gamma } \right)\sinh \vartheta }}{{\cosh \tau - \cosh \vartheta }}{\xi _0} + \frac{{{\rm{d}}{G_N}}}{{{\rm{d}}\vartheta }}{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{1 - \gamma }} = 0, \end{split} $

      方程(29)有如下解

      $\qquad \xi _0^1 = 0,\; \; \xi _1^1 = - 1,\; \; \xi _2^1 = \xi _3^1 = \xi _4^1 = \xi _5^1 = 0,\; \; G_N^1 = 0;$

      $\qquad \xi _0^2 = 0,\; \; \xi _1^2 = 0,\; \; \xi _2^2 = 1,\,\,\,\,\xi _3^2 = \xi _4^2 = \xi _5^2 = 0,\; \; G_N^2 = 0.$

      生成函數(30)和(31)都相應于系統的Noether對稱變換,根據定理1,我們得到

      $\qquad I_N^1 = \left[ {{x_3} + \frac{1}{2}\left( {x_4^2 + x_5^2} \right)} \right]{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}} = {c^1} = {\rm{const}}.$

      $\qquad I_N^2 = {x_4}{\left( {\cosh \tau - \cosh \vartheta } \right)^{\gamma - 1}} = {c^2} = {\rm{const}}.$

      $\gamma = {\rm{1}}$ 時,守恒量(32)和(33)退化為經典事件空間中Birkhoff系統的Noether守恒量[8].

    • 基于按指數律拓展的分數階積分,文章提出并研究了事件空間中擬分數階Birkhoff系統的Noether對稱性與守恒量. 文章主要工作有以下3個方面:首先,基于按指數律拓展的分數階積分概念,定義了事件空間中擬分數階Pfaff作用量(式(4)),建立了事件空間中擬分數階Pfaff?Birkhoff原理(式(5)~(7)),導出擬分數階Pfaff?Birkhoff?d’Alembert原理(式(9))和運動微分方程(式(10));其次,給出了Pfaff作用量的變分公式(14)和(16),定義了事件空間中擬分數階Noether對稱變換和準對稱變換,建立了相應的判據方程(式(19)和(21));第三,建立了事件空間中擬分數階Birkhoff系統的Noether定理(定理1和定理2). 文末,給出算例. 當 $\gamma = {\rm{1}}$ 時文章結果退化為經典事件空間中Birkhoff系統的Noether定理. 進一步可考慮將結果拓展到一般分數階模型或擬分數階模型等.

參考文獻 (22)

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