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G*-錐度量空間中集值映射的公共不動點定理

宋倩 薛西鋒

引用本文:
Citation:

G*-錐度量空間中集值映射的公共不動點定理

    作者簡介: 宋 倩(1995?),女,山西人,碩士生,主要從事非線性泛函方面的研究. E-mail:1205882749@qq.com;
    通訊作者: 薛西鋒, xuefr390@163.com
  • 中圖分類號: O177.91

Common fixed point theorems for set-valued mappings in G*-cone metric spaces

    Corresponding author: XUE Xi-feng, xuefr390@163.com
  • CLC number: O177.91

  • 摘要: 首次引入G*-錐度量空間,在這個新的錐度量空間中,研究了新的集值壓縮映射,通過構造不同的迭代序列證明了在G*-錐度量空間中集值壓縮映射公共不動點定理的存在性和唯一性. 這一結果豐富了不同度量空間中集值壓縮的不動點定理,說明了集值壓縮在不同度量空間中的適用性問題.
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出版歷程
  • 收稿日期:  2019-10-08
  • 錄用日期:  2020-03-27
  • 網絡出版日期:  2020-07-23

G*-錐度量空間中集值映射的公共不動點定理

    作者簡介:宋 倩(1995?),女,山西人,碩士生,主要從事非線性泛函方面的研究. E-mail:1205882749@qq.com
    通訊作者: 薛西鋒, xuefr390@163.com
  • 西北大學,數學學院,西安市 710127

摘要: 首次引入G*-錐度量空間,在這個新的錐度量空間中,研究了新的集值壓縮映射,通過構造不同的迭代序列證明了在G*-錐度量空間中集值壓縮映射公共不動點定理的存在性和唯一性. 這一結果豐富了不同度量空間中集值壓縮的不動點定理,說明了集值壓縮在不同度量空間中的適用性問題.

English Abstract

  • 線性算子和非線性算子存在理論的許多革命性成果在Banach壓縮原理之后出現,1969年,Nadler[1]首先給出了集值壓縮的經典形式,隨后許多學者進行了推廣[2-5]. Mizaguchi和Takahashi[6]給出了Nadler定理的真正概括(定理1).

    定理1[6]$\left( {X,d} \right)$ 是完備的度量空間且 $T:X \to {2^X}$ 是集值映射,對于任意的 $x \in X$,$TX$ 都是 $X$ 的非空有界閉子集. 若存在一個函數 $\varphi :\left[ {0,\infty } \right) \to \left[ {0,1} \right)$,使得對于任意的 $t \to \left[ {0,\infty } \right)$,都有 $\mathop {\lim \sup }\limits_{r \to {t^ + }} \varphi \left( r \right) < 1$,且對于任意的 $x,y \in X$$H\left( {Tx,Ty} \right) \leqslant \varphi \left( {d\left( {x,y} \right)} \right)d\left( {x,y} \right)$ 成立,則 $T$$X$ 中有不動點.

    Hassen[7]給出了b-度量空間中集值擬壓縮映射的不動點定理,Akbar[8]證明了錐b-度量空間集值映射的不動點定理,在Mustafa[9]等人對度量空間進行推廣,引入G-度量空間概念后,Nedal[10]給出了G-度量空間中集值映射的公共不動點定理,Akbar[11]研究了G-錐度量空間中集值映射不動點定理. 本文繼續對集值壓縮映射進行研究,給出了G*-錐度量空間中集值映射的基本性質,并證明了完備G*-錐度量空間中集值壓縮不動點的存在性和唯一性,最后給出了支持集值壓縮不動點定理的例子.

    • 定義1[12] 設$E$ 是實Banach空間,$P$$E$ 的一個子集,用 $\theta $ 定義 $E$ 中的零元,$\operatorname{int} P$ 定義 $P$ 的內部,子集 $P$ 稱為一個錐當且僅當:

      (1) $P$ 非空閉集且 $P \ne \left\{ \theta \right\}$;

      (2) $a,\;b \in {\bf{R}}$, $a,\;b \geqslant 0$, $x,\;y \in P \Rightarrow ax + by \in P$;

      (3) $P \cap \left( { - P} \right) = \theta $.

      對于 $E$ 上給定的錐 $P$,我們可以定義關于 $P$ 的偏序 $ \leqslant $,$x \leqslant y$ 當且僅當 $y - x \in P$;$x < y$ 表示 $x \leqslant y$$x \ne y$;$x \ll y$ 表示 $y - x \in \operatorname{int} P$. 錐 $P$ 稱為正規的,若存在 $K > 0$,對于任意的 $x,y \in E$, $\theta \leqslant x \leqslant y$ 可表示成 $\left\| x \right\| \leqslant K\left\| y \right\|$,這里 $K > 1$.

      注1[13] 對于非正規錐的情況,有如下性質:

      (1) 若 $u \leqslant v$$v \ll w$,則 $u \ll w$;(2) 若 $u \ll v$$v \ll w$,則 $u \ll w$;

      (3) 若 $u \ll v$$v \leqslant w$,則 $u \ll w$;(4) 若 $\forall c \in \operatorname{int} P$,$\theta \leqslant u \ll c$,則 $u = \theta $;

      (5) 若 $\forall c \in \operatorname{int} P$,$a \leqslant b + c$,則 $a \leqslant b$;

      (6) 若 $E$ 是實Banach空間, $P \subset E$,且若 $a \leqslant \lambda a$, $a \in P$, ${\rm{0}} \leqslant \lambda < 1$,則 $a = \theta $;

      (7) 若 $c \in \operatorname{int} P$, ${a_n} \in E$${a_n} \to \theta $,則存在 ${n_0}$,對任意的 $n > {n_0}$,有 ${a_n} \ll c$.

      定義2 令 $X$ 是非空集且給定實數 $r \geqslant 1$,設映射 ${G^ * }:X \times X \times X \to E$ 滿足如下條件,則稱G*為 $X$ 上的一個廣義錐度量,稱 $\left( {X,{G^ * }} \right)$G*-錐度量空間.

      (G*1) $\forall x,\;y,\;z \in X$, ${G^ * }\left( {x,y,z} \right){\rm{ = }}\theta $,當且僅當 $x = y = z$;

      (G*2) $\forall x,\;y \in X$,當 $x \ne y$ 時,${G^ * }\left( {x,x,y} \right) > \theta $;

      (G*3) $\forall x,\;y,\;z \in X$,當 $y \ne z$ 時,${G^ * }\left( {x,y,y} \right) \leqslant {G^ * }\left( {x,y,z} \right)$;

      (G*4) $\forall x,\;y,\;z \in X$, ${G^ * }\left( {x,y,z} \right) = {G^ * }\left( {x,z,y} \right) = {G^ * }\left( {y,x,z} \right) = \cdots $;

      (G*5) $\forall x,\;y,\;z,\;a \in X$, ${G^ * }\left( {x,y,z} \right) \leqslant r\left[ {{G^ * }\left( {x,a,a} \right) + {G^ * }\left( {a,y,z} \right)} \right]$.

      命題1 令 $X$G*-錐度量空間,定義 ${d_{{G^ * }}}:X \times X \to E$ 滿足 ${d_{{G^ * }}}(x,y) = \left[ {{G^ * }(x,y,y) + {G^ * }(y,x,x)} \right]$,其中 $r \geqslant 1$,則 $\left( {X,{d_{{G^ * }}}} \right)$ 是錐b-度量空間.

      證明

      (1) $\forall x,y$, ${d_{{G^ * }}}(x,y) \geqslant 0$,當且僅當 $x = y$ 時,等號成立;

      (2) ${d_{{G^ * }}}(x,y) = \left[ {{G^ * }(x,y,y) + {G^ * }(y,x,x)} \right] = {d_{{G^ * }}}(y,x)$;

      (3) $ {d_{{G^ * }}}(x,z) \!=\! {G^ * }(x,z,z) \!+\! {G^ * }(z,x,x) \leqslant r\left[ {{G^ * }(x,y,y) \!+\! {G^ * }(y,z,z){\rm{ + }}{G^ * }(z,y,y) + {G^ * }(y,x,x)} \right] = r\left[ {{d_{{G^ * }}}(x,y) + {d_{{G^ * }}}(y,z)} \right]. \\ $

      證畢.

      例1 令 $\left( {X,{G^ * }} \right)$G*-錐度量空間,定義 ${G^ * }:X \times X \times X \to E$ 滿足

      $\qquad {G^ * }(x,y,z) = {d_{{G^ * }}}(x,y) + {d_{{G^ * }}}(y,z) + {d_{{G^ * }}}(z,x),$

      其中 $r \geqslant 1$,則 $\left( {X,{G^ * }} \right)$G*-錐度量空間.

      證明 (G*1)-(G*4)顯然成立,下證(G*5).

      $\qquad \begin{split} {G^ * }(x,y,z) =& {d_{{G^ * }}}(x,y) + {d_{{G^ * }}}(y,z) + {d_{{G^ * }}}(z,x) \leqslant r\left[ {{d_{{G^ * }}}(x,a) + {d_{{G^ * }}}(a,y) + {d_{{G^ * }}}(y,z) + {d_{{G^ * }}}(z,a) + {d_{{G^ * }}}(x,a)} \right] = \\ & r\left[ {{G^ * }(x,a,a) + {G^ * }(a,y,z)} \right], \\ \end{split} $

      因此 $\left( {X,{G^ * }} \right)$G*-錐度量空間. 證畢.

      定義3 令 $X$G*-錐度量空間, $\left\{ {{x_n}} \right\}$$X$ 中的任意序列,我們稱 $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 是:

      (1) 柯西(Cauchy)列,若對于任意的 $c \in E$, $\theta \leqslant c$,存在自然數 $N$,對任意的 $n,m,l > N$,都有 ${G^ * }\left( {{x_n},{x_m},{x_l}} \right) \ll c$;

      (2) 收斂列,若對于任意的 $c \in E$,$\theta \leqslant c$,存在自然數 $N$,對任意的 $n,m > N$,$x \in X$,都有 ${G^ * }\left( {{x_n},{x_m},x} \right) \ll c$,這里 $x$$\left\{ {{x_n}} \right\}$ 的極限點,記作 $\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {x_n} = x$;

      (3) $\left( {X,{G^ * }} \right)$ 稱為完備的G*-錐度量空間,若 $X$ 中任意Cauchy列都收斂.

      命題2 令 $X$G*-錐度量空間,則下面命題等價:

      (1) $\left\{ {{x_n}} \right\}$ 收斂于 $x$;

      (2) ${G^ * }\left( {{x_n},{x_n},x} \right) \to \theta $, $n \to \infty $;

      (3) ${G^ * }\left( {{x_n},x,x} \right) \to \theta $, $n \to \infty $;

      (4) ${G^ * }\left( {{x_m},{x_n},x} \right) \to \theta $, $m,n \to \infty $.

    • 根據文獻[11, 13],可定義如下:令 $X$G*-錐度量空間,分別用 $N\left( X \right)$, $B\left( X \right)$,$CB\left( X \right)$ 來表示 $X$ 中的非空子集、有界子集、序列閉有界子集. 則有

        $s\left( p \right) = \left\{ {q \in E:p \leqslant q} \right\}$,$q \in E$;

        $s(a,B) = \bigcup\limits_{b \in B} {s({d_{{G^ * }}}(a,b))} = \bigcup\limits_{b \in B} {\left\{ {x \in E:{d_{{G^ * }}}(a,b) \leqslant x} \right\}} $,對于 $a \in X$$B \in N\left( X \right)$;

        $\hat s(A,B) = \bigcup\limits_{a \in A,b \in B} {s({d_{{G^ * }}}(a,b))} $,對于 $A,B \in B(X)$;

      $\qquad s(a,B,C) = s(a,B) + \hat s(B,C) + s(a,C) = \left\{ {u + v + w:u \in s(a,B),v \in \hat s(B,C),w \in s(a,C)} \right\};$

      $\qquad s\left( {A,B,C} \right) = \left( {\bigcap\limits_{a \in A} {s\left( {a,B,C} \right)} } \right) \cap \left( {\bigcap\limits_{b \in B} {s\left( {b,A,C} \right)} } \right) \cap \left( {\bigcap\limits_{c \in C} {s\left( {c,A,B} \right)} } \right).$

      引理1 令 $X$G*-錐度量空間, $P$ 是Banach空間 $E$ 中的錐.

      (1) 令 $p,q \in E$. 若 $p \leqslant q$,則 $s\left( q \right) \subset s\left( p \right)$;

      (2) 令 $x \in X$$A \in N\left( X \right)$. 若 ${\rm{0}} \in s\left( {x,A} \right)$,則 $x \in A$;

      (3) 令 $A,B,C \in N\left( X \right)$. 若 ${\rm{0}} \in s\left( {A,B,C} \right)$,則 $A = B = C$;

      (4) 令 $p \in P$$A,B,C \in B\left( X \right)$, $a \in A$,若 $q \in s\left( {A,B,C} \right)$,則 $q \in s\left( {a,B,C} \right)$.

      注2 令 $\left( {X,{G^ * }} \right)$G*-錐度量空間,則:

      (1) $\hat s\left( {\left\{ a \right\},\left\{ b \right\}} \right) = s\left( {{d_{{G^ * }}}\left( {a,b} \right)} \right)$,對于 $a,b \in X$;

      (2)若 $x \in s\left( {a,B,B} \right)$,則 $x \in 2s\left( {{d_{{G^ * }}}\left( {a,b} \right)} \right)$.

      證明 (1)根據定義可得, $\hat s\left( {\left\{ a \right\},\left\{ b \right\}} \right) = \mathop \cup \limits_{a \in \left\{ A \right\},b \in \left\{ B \right\}} s\left( {{d_{{G^ * }}}\left( {a,b} \right)} \right) = s\left( {{d_{{G^ * }}}\left( {a,b} \right)} \right)$;

      (2) 現令 $x \in s\left( {a,B,B} \right)$,則 $x \in s\left( {a,B,B} \right) = s\left( {a,B} \right) + \hat s\left( {B,B} \right) + s\left( {a,B} \right)$,于是可推出 $x \in 2s\left( {a,B} \right) + \hat s\left( {B,B} \right)$,所以 $x \in 2s\left( {{d_{{G^ * }}}\left( {a,b} \right)} \right) + s\left( \theta \right)$. 設 $x = y + z$,對于 $y \in 2s\left( {{d_{{G^ * }}}\left( {a,b} \right)} \right)$$z \in s\left( \theta \right)$,根據定義 $\theta \leqslant z$$2{d_{{G^ * }}}\left( {a,b} \right) \leqslant y$,即可推出 $\theta + 2{d_{{G^ * }}}\left( {a,b} \right) \leqslant y + z = x$,因此 $2{d_{{G^ * }}}\left( {a,b} \right) \leqslant x$,所以 $x \in 2s\left( {{d_{{G^ * }}}\left( {a,b} \right)} \right)$. 證畢.

      定義4[10] 令 $X$ 是給定的非空集,假設 $g:X \to X$$T:X \to {{\rm{2}}^X}$.

      (1) 若對于 $x \in X$,滿足 $w = gx \in Tx$,則 $x$ 稱為 $T$$g$ 的重合點且 $w$ 稱為 $T$$g$ 的重合點.

      (2) 映射 $T$$g$ 稱為弱相容的,若存在 $x \in X$,$gx \in Tx$ 可推出 $gT\left( x \right) \subseteq Tg\left( x \right)$.

      命題3[14] 令 $X$ 是給定的非空集,假設 $g:X \to X$$T:X \to {{\rm{2}}^X}$ 是弱相容映射,若 $T$$g$ 有唯一的重合點 $w = gx \in Tx$,則 $w$ 稱為 $T$$g$ 的唯一公共不動點.

      下面的定理中,我們將在G*-錐度量空間上利用廣義的Hausdorff距離研究集值映射的不動點問題.

    • 定理2 令 $\left( {X,{G^ * }} \right)$ 是完備的G*-錐度量空間,其中系數 $r \geqslant 1$,設 $g:X \to X$ 是單值映射, $T:X \to CB\left( X \right)$ 是集值映射,假設 $gX$ 是完備的且 $Tx \subset g\left( X \right)$,若存在函數 $\varphi :P \to \left[ {0,1} \right)$,使得對于任何的遞減序列 $\left\{ {{r_n}} \right\} \subset P$ 都有 $\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varphi \left( {{r_n}} \right) < \dfrac{1}{r}$,且對任意的 $x,y,z \in X$,有

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {gx,gy,gz} \right)} \right){G^ * }\left( {gx,gy,gz} \right) \in s\left( {Tx,Ty,Tz} \right)$

      成立,則 $T$$g$$X$ 中有唯一的重合點. 若 $T$$g$ 弱相容,則 $T$$g$ 有唯一的公共不動點.

      證明 對任意的 ${x_0} \in X$,由 $T{x_0} \subseteq g\left( X \right)$,則存在 ${x_1} \in X$,使得 $g{x_1} \in T{x_0}$. 若 $g{x_0} = g{x_1}$,即 $g{x_0} \in T{x_0}$,則 $T$$g$ 有重合點. 現假設 $g{x_0} \ne g{x_1}$,由(1)式可得

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_0},g{x_1},g{x_1}} \right)} \right){G^ * }\left( {g{x_0},g{x_1},g{x_1}} \right) \in s\left( {T{x_0},T{x_1},T{x_1}} \right),$

      因此由引理1中的(4)可得

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_0},g{x_1},g{x_1}} \right)} \right){G^ * }\left( {g{x_0},g{x_1},g{x_1}} \right) \in s\left( {g{x_1},T{x_1},T{x_1}} \right).$

      再由注2中的(2),取 $g{x_{\rm{2}}} \in T{x_{\rm{1}}}$,可得

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_0},g{x_1},g{x_1}} \right)} \right){G^ * }\left( {g{x_0},g{x_1},g{x_1}} \right) \in {\rm{2}}s\left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_1},g{x_2}} \right)} \right),$

      于是

      $\qquad {\rm{2}}{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_1},g{x_2}} \right) \leqslant \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_0},g{x_1},g{x_1}} \right)} \right){G^ * }\left( {g{x_0},g{x_1},g{x_1}} \right),$

      同理再由(1)式有

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_{\rm{1}}},g{x_{\rm{2}}},g{x_{\rm{2}}}} \right)} \right){G^ * }\left( {g{x_{\rm{1}}},g{x_{\rm{2}}},g{x_{\rm{2}}}} \right) \in s\left( {T{x_{\rm{1}}},T{x_{\rm{2}}},T{x_{\rm{2}}}} \right).$

      $g{x_{\rm{3}}} \in T{x_{\rm{2}}}$,可得

      $\qquad \begin{split} {\rm{2}}{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{2}}},g{x_{\rm{3}}}} \right) \leqslant & \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_{\rm{1}}},g{x_{\rm{2}}},g{x_{\rm{2}}}} \right)} \right){G^ * }\left( {g{x_{\rm{1}}},g{x_{\rm{2}}},g{x_{\rm{2}}}} \right) \leqslant \\ & \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_{\rm{1}}},g{x_{\rm{2}}},g{x_{\rm{2}}}} \right)} \right)\left[ {{G^ * }\left( {g{x_{\rm{1}}},g{x_{\rm{2}}},g{x_{\rm{2}}}} \right) + {G^ * }\left( {g{x_2},g{x_1},g{x_1}} \right)} \right]{\rm{ = }} \\ & \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_{\rm{1}}},g{x_{\rm{2}}},g{x_{\rm{2}}}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{1}}},g{x_{\rm{2}}}} \right), \\ \end{split} $

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{2}}},g{x_{\rm{3}}}} \right) \leqslant \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_{\rm{1}}},g{x_{\rm{2}}},g{x_{\rm{2}}}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{1}}},g{x_{\rm{2}}}} \right).$

      由歸納法,構造序列 $\left\{ {{x_n}} \right\} \subset X$,使得

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},g{x_{n + 1}}} \right) \leqslant \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}}\varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_{n - 1}},g{x_n},g{x_n}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n - 1}},g{x_n}} \right).$

      假設 $g{x_n} \ne g{x_{n + 1}}$,對任意的 $n \in {\bf{N}}$,由(2)式可知序列 $\left\{ {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},g{x_{n + 1}}} \right)} \right\}$$P$ 中的遞減序列,所以存在 $a \in \left( {{\rm{0,}}\dfrac{1}{r}} \right)$ 使得 $\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n - 1}},g{x_n}} \right)} \right) = a$. 因此存在自然數 $N$,當 $n \geqslant N$ 時,存在 $k \in \left( {a,\dfrac{1}{r}} \right)$,使得 $\varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n - 1}},g{x_n}} \right)} \right) < k$,因此

      $\begin{split} \qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},g{x_{n + 1}}} \right) &\leqslant \frac{1}{2}\varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_{n - 1}},g{x_n},g{x_n}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n - 1}},g{x_n}} \right)\; = \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n - 1}},g{x_n}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n - 1}},g{x_n}} \right) < \\ &k{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n - 1}},g{x_n}} \right) < {k^n}{g_{{G^ * }}}\left( {g{x_0},g{x_1}} \right). \\ \end{split} $

      于是對于任意的 $m > n > N$,有

      $\qquad \begin{split} {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},g{x_m}} \right) \leqslant & r\left[ {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},g{x_{n + 1}}} \right) + {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n + 1}},g{x_m}} \right)} \right] \leqslant \\ &r{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},g{x_{n + 1}}} \right) + {r^2}{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n + 1}},g{x_{n + 2}}} \right) + \cdots + {r^{m - n}}{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{m - 1}},g{x_m}} \right) \leqslant \\ &\left( {r{k^n} + {r^2}{k^{n + 1}} + \cdots + {r^{m - n}}{k^{m - 1}}} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_0},g{x_1}} \right) = \\ &\frac{{r{k^n}\left( {1 - {r^{m - n}}{k^{m - n}}} \right)}}{{1 - rk}}{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_0},g{x_1}} \right) \leqslant \frac{{r{k^n}}}{{1 - rk}}{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_0},g{x_1}} \right).\; \\ \end{split} $

      由于 $k \in \left( {a,\dfrac{1}{r}} \right)$,則 $\left\{ {g{x_n}} \right\}$$X$ 中的Cauchy列,由 $gX$ 的完備性,存在 $q \in gx$,使得 $g{x_n} \to q$,即對于 ${n_0} \in {\bf{N}}$,存在 $c > \theta $,當 $n > {n_0}$ 時, ${d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},q} \right) \ll \dfrac{c}{2}$. 因為 $q \in gx$,則存在 $p \in X$,使得 $gp = q$,于是 ${d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},gp} \right) \ll \dfrac{c}{2}$.

      下證 $ gp \in Tp$,由式(1)可得

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_n},gp,gp} \right)} \right){G^ * }\left( {g{x_n},gp,gp} \right) \in s\left( {T{x_n},Tp,Tp} \right).$

      于是對于 $g{x_{n + 1}} \in T{x_n}$,有

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_n},gp,gp} \right)} \right){G^ * }\left( {g{x_n},gp,gp} \right) \in s\left( {g{x_{n + 1}},Tp,Tp} \right),$

      故存在 ${u_n}$,使得 $g{u_n} \in Tp$,滿足

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n + 1}},g{u_n}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},gp} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},gp} \right),$

      于是

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {gp,g{u_n}} \right) \leqslant r{d_{{G^ * }}}\left( {gp,g{x_{n + 1}}} \right) + r{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n + 1}},g{u_n}} \right) \leqslant \frac{c}{2} + \frac{c}{2} = c,$

      所以 $g{u_n} \to gp$,而 $g{u_n} \in Tp$$Tx$ 是閉集,故 $gp \in Tp$,即 $p$$T$$g$ 的重合點.

      現假設 $gp \in Tp$, $gq \in Tq$,下證重合點唯一. 由(1)式可得

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {gq,gp,gp} \right)} \right){G^ * }\left( {gq,gp,gp} \right) \in s\left( {Tq,Tp,Tp} \right).$

      整理得

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {gq,gp} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {gq,gp} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {gq,gp} \right).$

      因此 ${d_{{G^ * }}}\left( {gq,gp} \right) = 0$,所以 $gq = gp$$\theta \in s\left( {Tq,Tp,Tp} \right)$,于是 $Tq = Tp$,因此 $T$$g$ 有唯一的重合點. 若 $T$$g$ 弱相容,由命題3,則 $T$$g$ 有唯一的公共不動點. 證畢.

      推論1 令 $\left( {X,{G^ * }} \right)$ 是完備的G*-錐度量空間,其中系數 $r \geqslant 1$,設 $T:X \to CB\left( X \right)$ 是集值映射,若存在函數 $\varphi :P \to \left[ {0,1} \right)$,使得對于任何的遞減序列 $\left\{ {{r_n}} \right\} \subset P$ 都有 $\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varphi \left( {{r_n}} \right) < \dfrac{1}{r}$,且對任意的 $x,y,z \in X$,有

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {x,y,z} \right)} \right){G^ * }\left( {x,y,z} \right) \in s\left( {Tx,Ty,Tz} \right)$

      成立,則 $T$$X$ 中有不動點.

      證明 令定理2中的單值映射 $g = I$ 即可. 證畢.

      例2 令 $X = \left[ {0,1} \right]$,$E$$X$ 上的實值函數集,定義 $E$ 上的運算如下:對任意的 $x,y \in X$, $\alpha \in {\bf{R}}$,有 $\left( {x + y} \right)\left( t \right) = x\left( t \right) + y\left( t \right)$, $\left( {\alpha x} \right)\left( t \right) = \alpha x\left( t \right)$,即 $E = C_{\bf{R}}^1\left[ {0,1} \right]$,范數 $\left\| f \right\| = {\left\| f \right\|_\infty } + {\left\| {f'} \right\|_\infty }$,令 $P = \left\{ {x \in E:\theta \leqslant x} \right\}$,其中對于任意的 $t \in X$, $\theta \left( t \right) = 0$,則 $P$ 是非正規錐. 定義 ${G^ * }:X \times X \times X \to E$ 如下:${G^ * }\left( {x,y,z} \right)\left( t \right) = ( {{\left| {x - y} \right|}^p} + {{\left| {y - z} \right|}^p} + {{\left| {z - x} \right|}^p}){{\rm{e}}^t}$(其中 $p > 1$),則 $\left( {X,{G^ * }} \right)$G*-錐度量空間.

      證明

      (1) $\forall x,y,z \in X$, ${G^ * }\left( {x,y,z} \right) = \left( {{{\left| {x - y} \right|}^p} + {{\left| {y - z} \right|}^p} + {{\left| {z - x} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t} = 0 \Leftrightarrow x = y = z$;

      (2) $\forall x,y \in X$,當 $x \ne y$ 時, ${G^ * }\left( {x,y,y} \right) = \left( {2{{\left| {x - y} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t} > 0$;

      (3) $\forall x,y,z \in X$,當 $y \ne z$ 時,

      $\qquad {G^ * }\left( {x,x,y} \right) = \left( {2{{\left| {x - y} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t}\; \leqslant \left( {{{\left| {x - y} \right|}^p} + {{\left| {y - z} \right|}^p}{\rm{ + }}{{\left| {z - x} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t} = {G^ * }\left( {x,y,z} \right);$

      (4) $\forall x,y,z \in X$,

      $\qquad \begin{split} {G^ * }\left( {x,y,z} \right) =& \left( {{{\left| {x - y} \right|}^p} + {{\left| {y - z} \right|}^p} + {{\left| {z - x} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t} = \\ &\left( {{{\left| {x - z} \right|}^p} + {{\left| {z - y} \right|}^p} + {{\left| {y - x} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t} = {G^ * }\left( {x,z,y} \right) = {G^ * }\left( {y,x,z} \right) = \cdots ; \\ \end{split} $

      (5)$\forall a,b \geqslant 0$,有 ${\left( {a + b} \right)^p} \leqslant {\left( {2\max \left\{ {a,b} \right\}} \right)^p} \leqslant {2^p}\left( {{a^p} + {b^p}} \right)$,于是 $\forall x,y,z,a \in X$,有

      $\qquad \begin{split} {G^ * }\left( {x,y,z} \right) =& \left( {{{\left| {x - y} \right|}^p}{\rm{ + }}{{\left| {y - z} \right|}^p} + {{\left| {z - x} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t} \leqslant \left[ {{2^p}\left( {{{\left| {x - a} \right|}^p} + {{\left| {a - y} \right|}^p}} \right) + {{\left| {y - z} \right|}^p} + {2^p}\left( {{{\left| {z - a} \right|}^p} + {{\left| {a - x} \right|}^p}} \right)} \right]{{\rm{e}}^t} \leqslant \\ &{2^p}\left( {2{{\left| {x - a} \right|}^p} + {{\left| {a - y} \right|}^p} + {{\left| {y - z} \right|}^p} + {{\left| {z - a} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t} = {2^p}\left[ {{G^ * }\left( {x,a,a} \right) + {G^ * }\left( {a,y,z} \right)} \right]. \\ \end{split} $

      $r = {2^p}$,則滿足 ${G^ * }\left( {x,y,z} \right) \leqslant r\left[ {{G^ * }\left( {x,a,a} \right) + {G^ * }\left( {a,y,z} \right)} \right]$,所以 $\left( {X,{G^ * }} \right)$G*-錐度量空間. 顯然 $\left( {X,{G^ * }} \right)$ 是完備的G*-錐度量空間,考慮映射 $g:X \to X$$T:X \to CB\left( X \right)$,令 $Tx = \left[ {0,\dfrac{1}{{40}}x} \right]$, $gx = 2x$,設函數 $\varphi :P \to \left[ {0,1} \right)$, $\varphi \left( t \right) = \dfrac{4}{{{{40}^p}}}\;\left( {p > 1} \right)$,假設 $x,y,z$ 都是 $X$ 中的非零元,且 $x < y < z$. 則:

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {x,y} \right) = {G^ * }\left( {x,y,y} \right) + {G^ * }\left( {y,x,x} \right) = 4{\left| {x - y} \right|^p}{{\rm{e}}^t}; $

      $\qquad \forall x \in Tx,$

      $\qquad \begin{split} s\left( {x,Ty,Tz} \right) =& s\left( {x,\left[ {0,\frac{y}{{40}}} \right],\left[ {0,\frac{z}{{40}}} \right]} \right) = s\left( {{d_{{G^ * }}}\left( {x,\left[ {0,\frac{y}{{40}}} \right]} \right) + {d_{{G^ * }}}\left( {\left[ {0,\frac{y}{{40}}} \right],\left[ {0,\frac{z}{{40}}} \right]} \right) + {d_{{G^ * }}}\left( {x,\left[ {0,\frac{z}{{40}}} \right]} \right)} \right) = s\left( \theta \right); \end{split} $

      $\qquad \forall y \in Ty, $

      $\qquad \begin{split} s\left( {y,Tx,Tz} \right) =& s\left( {y,\left[ {0,\frac{x}{{40}}} \right],\left[ {0,\frac{z}{{40}}} \right]} \right) = s\left( {{d_{{G^ * }}}\left( {y,\left[ {0,\frac{x}{{40}}} \right]} \right) + {d_{{G^ * }}}\left( {\left[ {0,\frac{x}{{40}}} \right],\left[ {0,\frac{z}{{40}}} \right]} \right) + {d_{{G^ * }}}\left( {y,\left[ {0,\frac{z}{{40}}} \right]} \right)} \right) = \\ & \left\{ \begin{array}{l} s\left( \theta \right),y \leqslant \dfrac{x}{{40}}; \\ s\left( {4{{\left| {\dfrac{y}{{40}} - \dfrac{x}{{40}}} \right|}^p}{{\rm{e}}^t}} \right),y \geqslant \dfrac{x}{{40}} \\ \end{array} \right. = s\left( {4{{\left| {\dfrac{y}{{40}} - \dfrac{x}{{40}}} \right|}^p}{{\rm{e}}^t}} \right);\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \\ \end{split} $

      $\qquad \forall z \in Tz,$

      $\qquad \begin{split} s\left( {z,Tx,Ty} \right) =& s\left( {z,\left[ {0,\frac{x}{{40}}} \right],\left[ {0,\frac{y}{{40}}} \right]} \right) = s\left( {{d_{{G^ * }}}\left( {z,\left[ {0,\frac{x}{{40}}} \right]} \right) + {d_{{G^ * }}}\left( {\left[ {0,\frac{x}{{40}}} \right],\left[ {0,\frac{y}{{40}}} \right]} \right) + {d_{{G^ * }}}\left( {z,\left[ {0,\frac{y}{{40}}} \right]} \right)} \right) = \\ &\left\{ \begin{array}{l} s\left( \theta \right),y \leqslant \dfrac{x}{{40}}; \\ s\left( {4{{\left| {\dfrac{z}{{40}} - \dfrac{x}{{40}}} \right|}^p}{{\rm{e}}^t}} \right),\dfrac{x}{{40}} \leqslant z \leqslant \dfrac{y}{{40}}; \\ s\left( {4{{\left| {\dfrac{z}{{40}} - \dfrac{x}{{40}}} \right|}^p}{{\rm{e}}^t} + 4{{\left| {\dfrac{z}{{40}} - \dfrac{y}{{40}}} \right|}^p}{{\rm{e}}^t}} \right),z \geqslant \dfrac{y}{{40}} \\ \end{array} \right. = s\left( {4{{\left| {\frac{z}{{40}} - \frac{x}{{40}}} \right|}^p}{{\rm{e}}^t} + 4{{\left| {\frac{z}{{40}} - \frac{y}{{40}}} \right|}^p}{{\rm{e}}^t}} \right); \\ \end{split} $

      于是

      $\qquad \begin{split} s\left( {Tx,Ty,Tz} \right) =& \left( {\bigcap\limits_{x \in Tx} {x,Ty,Tz} } \right) \cap \left( {\bigcap\limits_{y \in Ty} {y,Tx,Tz} } \right) \cap \left( {\bigcap\limits_{z \in Tz} {z,Tx,Ty} } \right) = \\ &s\left( {4{{\left| {\frac{y}{{40}} - \frac{x}{{40}}} \right|}^p}{{\rm{e}}^t}{\rm{ + }}4{{\left| {\frac{z}{{40}} - \frac{y}{{40}}} \right|}^p}{{\rm{e}}^t}{\rm{ + }}4{{\left| {\frac{z}{{40}} - \frac{x}{{40}}} \right|}^p}{{\rm{e}}^t}} \right) = \\ &s\left( {\frac{4}{{{{40}^p}}}\left( {{{\left| {x - y} \right|}^p} + {{\left| {y - z} \right|}^p} + {{\left| {z - x} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t}} \right). \\ \end{split} $

      又因為

      $\qquad \frac{4}{{{{40}^p}}}\left( {{{\left| {x - y} \right|}^p} + {{\left| {y - z} \right|}^p} + {{\left| {z - x} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t} \leqslant \frac{{\rm{4}}}{{{\rm{4}}{{\rm{0}}^p}}} \cdot {2^p}\left( {{{\left| {x - y} \right|}^p} + {{\left| {y - z} \right|}^p} + {{\left| {z - x} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t},$

      所以

      $\qquad \frac{4}{{{{40}^p}}} \cdot {2^p}\left( {{{\left| {x - y} \right|}^p} + {{\left| {y - z} \right|}^p} + {{\left| {z - x} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t} \in s\left( {\frac{4}{{{{40}^p}}}\left( {{{\left| {x - y} \right|}^p} + {{\left| {y - z} \right|}^p} + {{\left| {z - x} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t}} \right),$

      其中

      $\qquad \begin{split} {G^ * }\left( {gx,gy,gz} \right) =& \left( {{{\left| {gx - gy} \right|}^p} + {{\left| {gy - gz} \right|}^p} + {{\left| {gz - gx} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t} = {2^p}\left( {{{\left| {x - y} \right|}^p} + {{\left| {y - z} \right|}^p} + {{\left| {z - x} \right|}^p}} \right){{\rm{e}}^t}. \\ \end{split} $

      則上式可表示為 $\varphi \left( {{G^ * }\left( {gx,gy,gz} \right)} \right){G^ * }\left( {gx,gy,gz} \right) \in s\left( {Tx,Ty,Tz} \right)$,滿足定理2的全部條件,所以 $T$$g$ 有重合點,經驗證,重合點為 $x = 0$. 證畢.

    • 定理3 令 $\left( {X,{G^ * }} \right)$ 是完備的G*-錐度量空間,其中系數 $r \geqslant 1$,$P$$E$ 中非正規體錐,設 $g:X \to X$ 是單值映射, $T,S:X \to CB\left( X \right)$ 是2個集值映射,對任意的 $x \in X$, $Tx,Sx \subset gX$$gX$ 是完備的,若存在函數 $\varphi :P \to \left[ {0,1} \right)$,使得對于任何的遞減序列 $\left\{ {{r_n}} \right\} \subset P$ 都有 $\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varphi \left( {{r_n}} \right) < \dfrac{1}{r}$,且對任意的 $x,y,z \in X$,有

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {gx,gy,gz} \right)} \right){G^ * }\left( {gx,gy,gz} \right) \in s\left( {Tx,Sy,Sz} \right)$

      成立,則 $T,S$$g$$X$ 中有唯一的重合點. 若 $T,S$$g$ 分別弱相容,則 $T,S$$g$ 有唯一的公共不動點.

      證明 任取 ${x_0},{x_1} \in X$,由 $T{x_0},S{x_1} \subseteq g\left( X \right)$,則存在 ${x_{\rm{2}}} \in X$,使得 $g{x_1} \in T{x_0}$,$g{x_{\rm{2}}} \in S{x_1}$. 下面分5種情況進行討論.

      情形1:若 $g{x_0} = g{x_1}{\rm{ = }}g{x_2}$,即 $g{x_0} \in T{x_0}$,$g{x_{\rm{1}}} \in S{x_{\rm{1}}}$,則 $T,S$$g$ 有重合點.

      情形2: 假設$g{x_0} = g{x_1},\;g{x_1} \ne g{x_2}\;g{x_0} \ne g{x_2}$時,$T,S$$g$有重合點. 由(3)式可得

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_1},g{x_2}} \right)} \right){G^ * }\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_1},g{x_1}} \right) \in s\left( {T{x_{\rm{0}}},S{x_1},S{x_1}} \right)$

      因此由引理1(4)及注2(2)可得

      $\qquad 2{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_1},g{x_2}} \right) \leqslant \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_1},g{x_1}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_1}} \right).$

      整理得

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_1},g{x_2}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_1}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_1}} \right)$

      由條件$g{x_0} = g{x_1}$, 可得${d_{{G^ * }}}\left( {g{x_1},g{x_2}} \right) \leqslant {\rm{0}}$, 因此$g{x_1} = g{x_2}$, 矛盾, 故情形2不會出現.

      情形3: 假設$g{x_0} = g{x_{\rm{2}}},\;g{x_1} \ne g{x_2}\;g{x_0} \ne g{x_{\rm{1}}}$時,$T,S$$g$有重合點. 同理由上可知,

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_1},g{x_2}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_1}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_1}} \right),$

      再由$g{x_0} = g{x_2}$可得

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_{\rm{1}}}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_1}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_1}} \right)$

      由定理3條件中$\varphi $的性質可知, 上面的式子不成立, 故情形3不會出現.

      情形4: 假設$g{x_{\rm{1}}} = g{x_{\rm{2}}},\;g{x_{\rm{0}}} \ne g{x_{\rm{1}}}\;g{x_0} \ne g{x_{\rm{2}}}$時,$T,S$$g$有重合點. 同上可知,

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_1},g{x_2}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_1}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{0}}},g{x_1}} \right),$

      因為$g{x_1} = g{x_2}$, 所以對于任意的$n > N$無法驗證序列$\left\{ {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},g{x_{n + 1}}} \right)} \right\}$$P$中的遞減序列, 故情形4不會出現.

      情形5:現假設 $g{x_0} ,g{x_1}, g{x_2}$兩兩互不相等,以此類推,構造迭代序列 $\left\{ {{x_n}} \right\} \subset X$,令 $g{x_{2n + 1}} \in T{x_{2n}}$, $g{x_{2n + 2}} \in S{x_{2n + 1}}$,$\left( {n = 0,1,2, \cdots } \right)$,不妨設 $g{x_{2n}}, g{x_{2n + 1}}, g{x_{2n + 2}}$兩兩互不相等,由(3)式可得,

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_{2n}},g{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 1}}} \right)} \right){G^ * }\left( {g{x_{2n}},g{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 1}}} \right) \in s\left( {T{x_{2n}},S{x_{2n + 1}},S{x_{2n + 1}}} \right),$

      因此由引理1(4)及注2(2)可得

      $\qquad 2{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 2}}} \right) \leqslant \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_{2n}},g{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 1}}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n}},g{x_{2n + 1}}} \right).$

      整理得

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 2}}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n}},g{x_{2n + 1}}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n}},g{x_{2n + 1}}} \right).$

      同理可得

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n}},g{x_{2n + 1}}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n - 1}},g{x_{2n}}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n - 1}},g{x_{2n}}} \right).$

      由歸納法有

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},g{x_{n + 1}}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n - 1}},g{x_n}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n - 1}},g{x_n}} \right).$

      假設 $g{x_n} \ne g{x_{n + 1}}$,對于任意的 $n > {{N}}$,由(4)式可知序列 $\left\{ {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},g{x_{n + 1}}} \right)} \right\}$$P$ 中的遞減序列,所以存在 $a \in \left( {{\rm{0,}}\dfrac{1}{r}} \right)$ 使得 $\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n - 1}},g{x_n}} \right)} \right) = a$. 因此存在自然數 $N$,當 $n \geqslant N$ 時,存在 $k \in \left( {a,\dfrac{1}{r}} \right)$,使得 $\varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n - 1}}g{x_n}} \right)} \right) < k$,故

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},g{x_{n + 1}}} \right) \leqslant k{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n{\rm{ - 1}}}},g{x_n}} \right) \leqslant \cdots \leqslant {k^n}{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_0},g{x_1}} \right),$

      于是對于任意的 $m > n > N$,有

      $\qquad \begin{split} {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},g{x_m}} \right) \leqslant & r\left[ {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},g{x_{n + 1}}} \right) + {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{n + 1}},g{x_m}} \right)} \right] < \left( {r{k^n} + {r^2}{k^{n + 1}} + \cdots + {r^{m - n}}{k^{m - 1}}} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_0},g{x_1}} \right) \leqslant \\ &\frac{{r{k^n}}}{{1 - rk}}{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_0},g{x_1}} \right), \\ \end{split} $

      由于 $k \in \left( {a,\dfrac{1}{r}} \right)$,則 $\left\{ {g{x_n}} \right\}$$X$ 中的Cauchy列,由 $gX$ 的完備性,存在 $q \in gx$,使得 $g{x_n} \to q$,即對于 ${n_0} \in {\bf{N}}$,存在 $c > \theta $,當 $n > {n_0}$ 時, ${d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},q} \right) \ll \dfrac{c}{2}$. 因為 $q \in gx$,則存在 $p \in X$,使得 $gp = q$,于是 ${d_{{G^ * }}}\left( {g{x_n},gp} \right) \ll \dfrac{c}{2}$.

      下證 $gp \in Tp$$gp \in Sp$,由(3)式可得

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {g{x_{2n}},gp,gp} \right)} \right){G^ * }\left( {g{x_{2n}},gp,gp} \right) \in s\left( {T{x_{2n}},Tp,Tp} \right),$

      于是存在 $g{u_n} \in Sp$,有

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n + 1}},g{u_n}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n}},gp} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n}},gp} \right),$

      因此

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {gp,g{u_n}} \right) \leqslant r{d_{{G^ * }}}\left( {gp,g{x_{{\rm{2}}n + 1}}} \right) + r{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{{\rm{2}}n + 1}},g{u_n}} \right) \leqslant \frac{c}{2} + \frac{c}{2} = c.$

      所以 $g{u_n} \to gp$,而 $g{u_n} \in Sp$$Sx$ 是閉集,故 $gp \in Sp$. 同理可證 $gp \in Tp$,因此 $p$$T,S$$g$ 的重合點.

      現假設 $gp \in Tp,Sp$, $gq \in Tq,Sq$,下證重合點唯一. 由(3)式可得

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {gq,gp,gp} \right)} \right){G^ * }\left( {gq,gp,gp} \right) \in s\left( {Tq,Sp,Sp} \right).$

      整理得

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {gq,gp} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {gq,gp} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {gq,gp} \right),$

      因此 ${d_{{G^ * }}}\left( {gq,gp} \right) = 0$,所以 $gq = gp$$\theta \in s\left( {Tq,Sp,Sp} \right)$,于是 $Sq = Tp$. 同理可證 $Sp = Tq$,因此 $T,S$$g$ 有唯一的重合點. 若 $T,S$$g$ 分別弱相容,由命題3,則 $T,S$$g$ 有唯一的公共不動點. 證畢.

      推論2 令 $\left( {X,{G^ * }} \right)$ 是完備的G*-錐度量空間,其中系數 $r \geqslant 1$,設 $T,S:X \to CB\left( X \right)$ 是2個集值映射,若存在函數 $\varphi :P \to \left[ {0,1} \right)$,使得對于任何的遞減序列 $\left\{ {{r_n}} \right\} \subset P$ 都有 $\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varphi \left( {{r_n}} \right) < \dfrac{1}{r}$,且對任意的 $x,y,z \in X$,有

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {x,y,z} \right)} \right){G^ * }\left( {x,y,z} \right) \in s\left( {Tx,Sy,Sz} \right)$

      成立,則 $T$$X$ 中有不動點.

      證明 令定理3中的單值映射 $g = I$ 即可. 證畢.

    • 定理4 令 $\left( {X,{G^ * }} \right)$ 是完備的G*-錐度量空間,其中系數 $r \geqslant 1$,設單值映射 $g,f:X \to X$ 既是單值又是滿射, $T,S:X \to CB\left( X \right)$ 是2個集值映射,對任意的 $x \in X$, $Tx \subset g\left( X \right)$, $Sx \subset f\left( X \right)$,若存在函數 $\varphi :P \to \left[ {0,1} \right)$,使得對于任何的遞減序列 $\left\{ {{r_n}} \right\} \subset P$ 都有 $\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varphi \left( {{r_n}} \right) < \dfrac{1}{r}$,且對任意的 $x,y,z \in X$,有

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {fx,gy,gz} \right)} \right){G^ * }\left( {fx,gy,gz} \right) \in s\left( {Tx,Sy,Sz} \right)$

      成立,則 $T,S$$g,f$$X$ 中有唯一的重合點. 若 $T,S$$g,f$ 分別弱相容,則 $T,S$$g,f$ 有唯一的公共不動點.

      證明 任取${x_0},{x_1},{x_2} \in X$, 令${x_0} = f{x_1} \in S{x_0}$, ${x_1} = g{x_2} \in T{x_1}$, 與定理3類似, 下面分3種情況討論.

      情形1: 若${x_0} = {x_1} = {x_2}$, 則$f{x_0} \in S{x_0},\;g{x_1} \in T{x_1}$, 因此$T,S$$g,f$$X$中有唯一的重合點.

      情形2: 假設${x_0} = {x_1},\;{x_1} \ne {x_2}\;{x_0} \ne {x_2}$時, $T,S$$g,f$有重合點. 由(5)式可得

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {f{x_1},g{x_2},g{x_2}} \right)} \right){G^ * }\left( {f{x_1},g{x_2},g{x_2}} \right) \in s\left( {T{x_1},S{x_2},S{x_2}} \right).$

      因此由引理1(4)及注2(b)可知, 存在${x_{\rm{4}}} = f{x_3} \in S{x_2}$, 使得

      $\qquad 2{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_2},f{x_3}} \right) \leqslant \varphi \left( {{G^ * }\left( {f{x_1},g{x_2},g{x_2}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {f{x_1},g{x_2}} \right).$

      整理得

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{\rm{2}}},f{x_3}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {f{x_1},g{x_2}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {f{x_1},g{x_2}} \right).$

      ${d_{{G^ * }}}\left( {{x_{\rm{1}}},{x_{\rm{2}}}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {{x_{\rm{0}}},{x_{\rm{1}}}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {{x_{\rm{0}}},{x_{\rm{1}}}} \right)$, 由${x_0} = {x_1}$${d_{{G^ * }}}\left( {{x_{\rm{0}}},{x_{\rm{1}}}} \right){\rm{ = 0}}$, 因此${d_{{G^ * }}}\left( {{x_{\rm{1}}},{x_{\rm{2}}}} \right){\rm{ = 0}} \Rightarrow {x_1} = {x_2}$, 矛盾, 假設不成立. 類似于定理3, 可推得${x_0} = {x_{\rm{2}}},\;{x_{\rm{0}}} \ne {x_{\rm{1}}}\;{x_{\rm{1}}} \ne {x_2}$的情況與${x_{\rm{1}}} = {x_{\rm{2}}},\;{x_{\rm{0}}} \ne {x_{\rm{1}}}\;{x_0} \ne {x_2}$的情況都是不成立的.

      情形3: 這里假設${x_0},{x_1},{x_2}$兩兩互不相等, 以此類推, 構造迭代序列${x_n} \subset X$, 使得${x_{2n}} = f{x_{2n + 1}} \in S{x_{2n}}$,${x_{2n + 1}} = g{x_{2n + 2}} \in T{x_{2n + 1}}$,$\cdots \left( {n = 0,1,2, \cdots } \right)$, 不妨設${x_{2n}},{x_{2n + 1}},{x_{2n + 2}}$兩兩互不相等, 由(5)式可得

        $\varphi \left( {{G^ * }\left( {f{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 2}},g{x_{2n + 2}}} \right)} \right){G^ * }\left( {f{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 2}},g{x_{2n + 2}}} \right) \in s\left( {T{x_{2n + 1}},S{x_{2n + 2}},S{x_{2n + 2}}} \right)$.

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {f{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 2}},g{x_{2n + 2}}} \right)} \right){G^ * }\left( {f{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 2}},g{x_{2n + 2}}} \right) \in s\left( {T{x_{2n + 1}},S{x_{2n + 2}},S{x_{2n + 2}}} \right).$

      因此由引理1(4)及注2(2)可知,存在 ${x_{2n + 2}} = f{x_{2n + 3}} \in S{x_{2n + 2}}$,使得

      $\qquad 2{d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n + 2}},f{x_{2n + 3}}} \right) \leqslant \varphi \left( {{G^ * }\left( {f{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 2}},g{x_{2n + 2}}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {f{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 2}}} \right).$

      整理得

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n + {\rm{2}}}},f{x_{2n + 3}}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {f{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 2}}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {f{x_{2n + 1}},g{x_{2n + 2}}} \right).$

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {{x_{2n + {\rm{1}}}},{x_{2n + {\rm{2}}}}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {{x_{2n}},{x_{2n + {\rm{1}}}}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {{x_{2n}},{x_{2n + {\rm{1}}}}} \right).$

      同理可得

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {{x_{2n}},{x_{2n + {\rm{1}}}}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {{x_{2n{\rm{ - 1}}}},{x_{2n}}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {{x_{2n{\rm{ - 1}}}},{x_{2n}}} \right).$

      由歸納法有

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {{x_n},{x_{n + {\rm{1}}}}} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {{x_{n{\rm{ - 1}}}},{x_n}} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {{x_{n{\rm{ - 1}}}},{x_n}} \right).$

      假設 ${x_n} \ne {x_{n + 1}}$,對任意的 $n \in {\bf{N}}$,由(6)式可知序列 $\left\{ {{d_{{G^ * }}}\left( {{x_n},{x_{n + 1}}} \right)} \right\}$$P$ 中的遞減序列,所以存在 $a \in \left( {{\rm{0,}}\dfrac{1}{r}} \right)$ 使得 $\mathop {\lim \sup }\limits_{n \to \infty } \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {{x_{n - 1}},{x_n}} \right)} \right) = a$. 因此存在自然數 $N$,當 $n \geqslant N$ 時,存在 $k \in \left( {a,\dfrac{1}{r}} \right)$,使得 $\varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {{x_{n - 1}},{x_n}} \right)} \right) < k$,故

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {{x_n},{x_{n + 1}}} \right) \leqslant k{d_{{G^ * }}}\left( {{x_{n{\rm{ - 1}}}},{x_n}} \right) \leqslant \cdots \leqslant {k^n}{d_{{G^ * }}}\left( {{x_0},{x_1}} \right).$

      于是對于任意的 $m > n > N$,有

      $\qquad \begin{split} {d_{{G^ * }}}\left( {{x_n},{x_m}} \right) \leqslant & r\left[ {{d_{{G^ * }}}\left( {{x_n},{x_{n + 1}}} \right) + {d_{{G^ * }}}\left( {{x_{n + 1}},{x_m}} \right)} \right] < \\ &\left( {r{k^n} + {r^2}{k^{n + 1}} + \cdots + {r^{m - n}}{k^{m - 1}}} \right){d_{{G^ * }}}\left( {{x_0},{x_1}} \right)\; \leqslant \frac{{r{k^n}}}{{1 - rk}}{d_{{G^ * }}}\left( {{x_0},{x_1}} \right). \end{split} $

      由于 $k \in \left( {a,\dfrac{1}{r}} \right)$,則 $\left\{ {{x_n}} \right\}$$X$ 中的Cauchy列,由 $X$ 的完備性,存在 ${x^ * } \in X$,使得 ${x_n} \to {x^ * }\left( {n \to \infty } \right)$,于是由迭代序列可知, ${x_{2n}} = f{x_{2n + 1}} \to {x^ * }$, ${x_{2n + 1}} = g{x_{2n + 2}} \to {x^ * }$, 因為 $f,g$ 都是滿射,則存在 $u,v \in X$,使得 $fu = gv = {x^ * }$. 又 $f,g$ 是單射,故 $u = v = {x^ * }$.

      下證 $f{x^ * } \in S{x^ * }$$g{x^ * } \in T{x^ * }$,由(5)式可得

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {f{x_{2n + 1}},g{x^ * },g{x^ * }} \right)} \right){G^ * }\left( {f{x_{2n + 1}},g{x^ * },g{x^ * }} \right) \in s\left( {T{x_{2n + 1}},S{x^ * },S{x^ * }} \right).$

      整理得

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x_{2n + 2}},S{x^ * }} \right) \leqslant \varphi \left( {{d_{{G^ * }}}\left( {f{x_{2n + 1}},g{x^ * }} \right)} \right){d_{{G^ * }}}\left( {f{x_{2n + 1}},g{x^ * }} \right).$

      $n \to \infty $,則

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {{x^ * },S{x^ * }} \right) \leqslant k{d_{{G^ * }}}\left( {{x^ * },g{x^ * }} \right) \to 0,$

      于是 ${d_{{G^ * }}}\left( {{x^ * },S{x^ * }} \right) = 0$,所以 ${x^ * } \in S{x^ * }$,即 ${x^ * } = f{x^ * } \in S{x^ * }$. 同理可證 ${x^ * } = g{x^ * } \in T{x^ * }$,因此 ${x^ * }$$T,S$$g,f$ 的重合點.

      假設 $f{x^ * }{\rm{ = }}g{x^ * } \in S{x^ * },T{x^ * }$$fx'{\rm{ = }}gx' \in Sx',Tx'$,下證重合點唯一,由(5)式可得

      $\qquad \varphi \left( {{G^ * }\left( {f{x^ * },gx',gx'} \right)} \right){G^ * }\left( {f{x^ * },gx',gx'} \right) \in s\left( {T{x^ * },Sx',Sx'} \right).$

      整理得

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {g{x^ * },fx'} \right) \leqslant k{d_{{G^ * }}}\left( {f{x^ * },gx'} \right).$

      $\qquad {d_{{G^ * }}}\left( {f{x^ * },fx'} \right) \leqslant k{d_{{G^ * }}}\left( {f{x^ * },fx'} \right).$

      ${d_{{G^ * }}}\left( {f{x^ * },fx'} \right) = 0$,于是 ${x^ * } = g{x^ * } = f{x^ * } = fx' = gx' = x'$,所以 $T,S$$g,f$ 有唯一的重合點. 若 $T,S$$g,f$ 分別弱相容,由命題3,則 $T,S$$g$ 有唯一的公共不動點. 證畢.

參考文獻 (16)

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