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微擾QCD因子化方案下的B介子三體衰變

王輝升 王興林 葛強 王慶松

引用本文:
Citation:

微擾QCD因子化方案下的B介子三體衰變

    通訊作者: 王輝升, hswang@ahpu.edu.cn
  • 中圖分類號: O413.4;O572.24+6

B three?body decays in perturbative QCD factorization approach

    Corresponding author: WANG Hui-sheng, hswang@ahpu.edu.cn ;
  • CLC number: O413.4;O572.24+6

  • 摘要: 運用微擾QCD因子化方案,考慮Sudakov因子對長程部分的壓低作用,引入雙強子分布振幅等非微擾參數,利用Flatté和Briet?Wigner模型對類時形狀因子進行參數化處理,加入頂角修正,微擾計算經共振態 $ {{\rm{f}}_0}(500,\;980,\;1\;500,\;1\;790) $${{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }{{\text{π}}^ + } $ 三體衰變分支比,結果分別為 $ 6.41 \times {10^{ - 9}} $,$ 1.25 \times {10^{ - 7}} $,$ 1.92 \times {10^{ - 8}} $,$ 5.66 \times {10^{ - 9}} $. 目前實驗上給出分支比 $ Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{f_0}(980)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) $ 的上限數據是 $ 1.5 \times {10^{ - 6}} $. 對比實驗結果表明,在考慮 $ {\rm{s\bar s}} $ 的貢獻和頂角修正項后,該文計算較前期結果更加合理,其中 $ {\rm{s\bar s}} $ 的貢獻是差別的主要來源,不容忽略.
  • 圖 1  B衰變的費曼圖

    Figure 1.  Feynman diagrams for B decay

    圖 2  B經共振態衰變到末態的衰變譜

    Figure 2.  The resonant contribution to the decays spectrum for B decay

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出版歷程
  • 收稿日期:  2019-11-11
  • 錄用日期:  2020-05-17
  • 網絡出版日期:  2020-06-20
  • 刊出日期:  2020-07-01

微擾QCD因子化方案下的B介子三體衰變

    通訊作者: 王輝升, hswang@ahpu.edu.cn
  • 安徽工程大學 數理學院,安徽 蕪湖 241000

摘要: 運用微擾QCD因子化方案,考慮Sudakov因子對長程部分的壓低作用,引入雙強子分布振幅等非微擾參數,利用Flatté和Briet?Wigner模型對類時形狀因子進行參數化處理,加入頂角修正,微擾計算經共振態 $ {{\rm{f}}_0}(500,\;980,\;1\;500,\;1\;790) $${{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }{{\text{π}}^ + } $ 三體衰變分支比,結果分別為 $ 6.41 \times {10^{ - 9}} $,$ 1.25 \times {10^{ - 7}} $,$ 1.92 \times {10^{ - 8}} $,$ 5.66 \times {10^{ - 9}} $. 目前實驗上給出分支比 $ Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{f_0}(980)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) $ 的上限數據是 $ 1.5 \times {10^{ - 6}} $. 對比實驗結果表明,在考慮 $ {\rm{s\bar s}} $ 的貢獻和頂角修正項后,該文計算較前期結果更加合理,其中 $ {\rm{s\bar s}} $ 的貢獻是差別的主要來源,不容忽略.

English Abstract

  • 在驗證標準模型和尋找新物理的過程中,${\rm{B}}$ 介子衰變的實驗測量和理論研究備受關注. 無論對 ${\rm{B}}$ 的兩體璨衰變還是非璨衰變,共線因子化理論都存在奇異端點的問題. G. F. Sterman、李湘南等基于kT因子化理論,在 ${\rm{B}}$ 介子兩體衰變的分析中引入了微擾量子色動力學(perturbative Quantum Chromodynamics, pQCD)因子化方法[1-3]. 這種方法和重夸克極限下的因子化假設一致,可以紅外截斷,滿足規范不變性.

    近幾年隨著高能實驗數據的不斷增加,三體衰變的研究變成一個熱門方向,因為其中可以提取重要的信息. 這是 ${\rm{B}}$ 介子衰變一個非常重要的發展領域.

    pQCD方法基于共線因子化理論,提出了新拓展方法[3-5],把非微擾部分作為輸入參數. 對于末態為三體的 ${\rm{B}}$ 衰變,引入雙介子分布振幅,使得三體衰變的分析具有可行性[6-8]. 在雙介子分布振幅里,端點的奇異性被消除,因此共線理論依然成立. 衰變末態介子攜帶動量 ${ O}({M_{\rm{B}}})$,其中每三對組合都具有 ${ O}({M_{\rm{B}}}^2)$ 的不變質量,${M_{\rm{B}}}$${\rm{B}}$ 介子的質量,衰變的主要貢獻來自于此. 衰變中至少有一對輕介子在 ${\rm O}(\overline \varLambda {M_{\rm{B}}})$ 下有不變質量($\overline \varLambda = {M_{\rm{B}}} - {M_{\rm}}$ 是指 ${\rm{B}}$ 介子和 ${\rm}$ 夸克的質量差),這就涉及到其中有兩個高速粒子幾乎捆綁在一起[9]. 無論是針對共振還是非共振貢獻,經過對雙介子分布振幅 ${\varPhi _{{{\rm{h}}_1}{{\rm{h}}_{\rm{2}}}}}$ 的參數化處理,衰變都可以按照兩體模式進行分析.

    本文通過引入非微擾的波函數,用pQCD因子化方法分析振幅的解析式. 并通過數值計算,得到衰變分支比,從而有利于理論和實驗對 ${{\rm{f}}_0}$ 的內部結構分析和探索.

    • ${\rm{B}} \to {{\rm{h}}_1}{{\rm{h}}_2}{{\rm{h}}_3}$ 三體衰變的因子化公式為:$M = {\Phi _{\rm{B}}} \otimes H \otimes {\Phi _{{{\rm{h}}_1}{{\rm{h}}_{\rm{2}}}}} \otimes {\Phi _{{{\rm{h}}_{\rm{3}}}}}$. ${{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }{{\text{π}}^ + }$ 衰變可以簡單描述為 ${\rm{B}} \to {M_{2{\text{π}}}}{M_{\text{π}}}$,${M_{2{\text{π}}}}$ 對應一組雙 ${\text{π}}$ 介子對. 在 ${\rm{B}}$ 介子質心坐標系中,設 ${{\text{π}}^ + }$${{\text{π}}^ - }$ 介子分別攜帶 ${P_1}$、${P_2}$ 的動量,${\rm{B}}$ 介子動量 ${P_{\rm{B}}}$,雙 ${\text{π}}$ 介子總動量 $P = {P_1} + {P_2}$,單獨 ${\text{π}}$ 介子動量 ${P_3}$. 用光錐坐標表示為:${P_{\rm{B}}} = {M_{\rm{B}}}(1,1,{0_T})/ \sqrt 2 $、${P}\; = {M_{\rm{B}}}(1,\eta ,{0_T})/\sqrt 2 $、${P_3} = {M_{\rm{B}}}(1,1 - \eta ,{0_T})/\sqrt 2 $.

      其中 $\eta = {\omega ^2}/{M_{\rm{B}}}^2$,${\omega ^2} = {P^2}$.

      用pQCD方法計算的結果依賴于非微擾贗標介子的輸入參數:率變常數,分布振幅和手征能標. ${\rm{B}}$ 介子的分布振幅為:

      $ \qquad {\phi _{\rm{B}}}(x,b) = {N_{\rm{B}}}{x^2}{(1 - x)^2}\exp \bigg[ - \frac{1}{2}{\bigg(\frac{{x{M_{\rm{B}}}}}{{{\omega _b}}}\bigg)^2} - \frac{{{\omega _b}^2{b^2}}}{2}\bigg],$

      其中歸一化常數 ${N_{\rm{B}}}$ 與衰變常數 ${f_{\rm{B}}}$ 有關,滿足方程 $\displaystyle \int\limits_0^1 {{\rm{d}}x{\phi _{\rm{B}}}(x,b = 0)} = 2{f_{\rm{B}}}/\sqrt {2{N_c}} $,${N_c} = 3$ 是色自由度指標. ${\omega _b}$ 為自由形狀參數,本文在數值計算中取 ${\omega _b} = (0.40 \pm {0.04})\;{\rm{GeV}}{.}$ $x$${\rm{B}}$ 介子中旁觀者夸克的動量占比, b是旁觀者夸克橫動量kT的共軛變量.

      對于 ${\text{π}}$ 介子領頭階扭度(twist?2)的分布振幅 $\phi {_{\text{π}}^A}\;$ 和次領頭階(twist?3)的 $\phi {_{\text{π}}^P}\;$$\phi {_{\text{π}}^T}\;$ 的具體表示如下:

      $\qquad \begin{split} \phi _{\text{π}}^A(x) =& {\frac{{{f_{\text{π}}}}} {3\sqrt 6 }}x(1 - x) \cdot [1 + a_1^{\text{π}}C_1^{3/2}(t) + a_2^{\text{π}}C_2^{3/2}(t) + a_4^{\text{π}}C_4^{3/2}(t)],\\ \phi _{\text{π}}^P(x) =& {\frac{{f_{\text{π}}}} {2\sqrt 6 }}\left\{ 1 + \bigg(30{\eta _3} - \frac{5}{2}{\rho _{\text{π}}}^2\bigg)C_2^{1/2}(t)] - 3\bigg[{\eta _3}{\omega _3} + \frac{9}{{20}}{\rho _{\text{π}}}^2(1 + 6a_2^{\text{π}})\bigg]C_4^{1/2}(t)\right\},\\ \phi _{\text{π}}^T(x) =& {\frac{{f_{\text{π}}}} {2\sqrt 6 }}x(1 - x)\bigg[1 + (5{\eta _3} - \frac{1}{2}{\eta _3}{\omega _3} - \frac{7}{{20}}{\rho _{\text{π}}}^2 - \frac{3}{5}{\rho _{\text{π}}}^2a_2^{\text{π}})C_2^{3/2}(t)\bigg]. \end{split} $

      其中 ${\rho _{\text{π}}} = {m_{\text{π}}}/{m_{0{\text{π}}}}$,分子是質量,分母是手征對稱性破壞標度,$a_i^{\text{π}}$ 是Gegenbauer動量,$C_n^\nu (t)$ 是Gegenbauer多項式.

      衰變始末介子波函數為:

      $\qquad \begin{split} {\varPhi _{\rm{B}}}(x,b) =& \frac{1}{{\sqrt {2{N_c}} }}({{\not P}_{\rm{B}}} + {M_{\rm{B}}}){\gamma _5}{\phi _{\rm{B}}}(x,b),\\ {\varPhi _{\text{π}}}({P_{\text{π}}},x) =& \frac{1}{{\sqrt {2{N_c}} }}{\gamma _5}[{{\not P}_{\text{π}}}\phi _{\text{π}}^A(x) + {m_{0{\text{π}}}}\phi _{\text{π}}^P(x) + {m_{0{\text{π}}}}(\not v\not n - 1)\phi _{\text{π}}^T(x)]. \end{split} $

      其中 $n = (1,0,{0_T})$$v = (0,1,{0_T})$ 分別是光錐坐標里的正反向基矢.

      對于雙 ${\text{π}}$ 介子系統,本文選擇如下[10]

      $\qquad \begin{split} {\Phi _{2{\text{π}}}}(z,\zeta ,{\omega ^2}) =& \frac{1}{{\sqrt {2{N_c}} }}[\not P{\phi _0}(z,\zeta ,{\omega ^2}) + \omega {\phi _s}(z,\zeta ,{\omega ^2}) + \omega (\not n\not v - 1){\phi _t}(z,\zeta ,{\omega ^2})], \\ \end{split} $

      其中,$\zeta = P_1^ + /{P^ + }$${{\text{π}}^ + }$ 介子的動量占比. ${\phi _0}$、${\phi _{s(t)}}$ 分別是Gegenbauer展開式中領頭階扭度部分和次領頭階部分[11-13],

      $\qquad \begin{split} {\phi _0} =& \frac{{9{F_s}({\omega ^2})}}{{\sqrt {2{N_c}} }}a_2^{I = 0}z(1 - z)(1 - 2z),\;\\ {\phi _s} =& \frac{{{F_s}({\omega ^2})}}{{2\sqrt {2{N_c}} }},\;\;\;{\phi _t} = \frac{{{F_s}({\omega ^2})}}{{2\sqrt {2{N_c}} }}(1 - 2z). \end{split} $

      這里的 ${F_s}({\omega ^2})$$a_2^{I = 0}$ 分別是類時標量形狀因子和Gegenbauer系數.

    • 在文獻[5]中作者用微擾QCD的方法分析計算過本衰變過程,計算結果發現其中的 ${{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)$ 衰變的分支比明顯超出了實驗結果給出的范圍,計算結果不能令人滿意. 本文基于LHCb的結果[14],在對類時標量形狀因子 ${F_s}$ 的參數化中考慮s波共振態,計算與 ${{\rm{f}}_0}(500,\;980,\;1\;500,\;1\;790)$ 相關的衰變分支比.

      ${\rm{d\bar d}}$ 分量有關的是 ${{\rm{f}}_0}(500)$,本文采用Briet?Wigner模型[15]

      $\qquad F_{\rm{s}}^{{\rm{d}}\bar {\rm{d}}}({\omega ^2}) = \frac{{cm_{{{\rm{f}}_0}(500)}^2}}{{m_{{{\rm{f}}_0}(500)}^2 - {\omega ^2} - {\rm{i}}{m_{{{\rm{f}}_0}(500)}}{\Gamma _{{{\rm{f}}_0}(500)}}({\omega ^2})}},$

      此處 ${m_{{{\rm{f}}_0}(500)}} = {0.50}\;{\rm{GeV}},\;$ 對于s波共振態衰變成雙 ${\text{π}}$ 介子情形,${\Gamma _s}({\omega ^2})$ 可參數化[16]

      $\qquad {\Gamma _s}({\omega ^2}) = {\Gamma _s}F_R^2\frac{{{m_s}}}{\omega }\sqrt {\frac{{{\omega ^2} - 4m_{\text{π}}^2}}{{m_s^2 - 4m_{\text{π}}^2}}} ,\;$

      ${\Gamma _{{{\rm{f}}_0}(500)}} = {0.40}\;{\rm{GeV}},\;$${F_R} = {1}\;$ 是Blatt?Weisskopf制約系數[17].

      形狀因子 ${\rm{s\bar s}}$ 的部分與 ${{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }{{\text{π}}^ + }$ 中間態 ${{\rm{f}}_0}(980,\;1\;500,\;1\;790)$ 相關[5,18],本文采用Flatté和Briet?Wigner模型來處理 ${{\rm{f}}_0}(980)$${{\rm{f}}_0}(1\;500,\;1\;790)$ 中間態.

      $\qquad \begin{split} F_{\rm{s}}^{{\rm{s}}\bar {\rm{s}}}({\omega ^2}) =& \frac{{{c_1}m_{{{\rm{f}}_0}(980)}^2{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _1}}}}}{{m_{{{\rm{f}}_0}(980)}^2 - {\omega ^2} - {\rm{i}}{m_{{{\rm{f}}_0}(980)}}({g_{{\rm{{\text{π}}{\text{π}} }}}}{\rho _{{\rm{{\text{π}}{\text{π}} }}}} + {g_{{\rm{KK}}}}{\rho _{{\rm{KK}}}})}}+ \frac{{{c_2}m_{{{\rm{f}}_0}(1\;500)}^2{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _2}}}}}{{m_{{{\rm{f}}_0}(1\;500)}^2 - {\omega ^2} - {\rm{i}}{m_{{{\rm{f}}_0}(1\;500)}}{\Gamma _{{{\rm{f}}_0}(1\;500)}}({\omega ^2})}}+ \\ & \frac{{{c_3}m_{{{\rm{f}}_0}(1\;790)}^2{{\rm{e}}^{{\rm{i}}{\theta _3}}}}}{{m_{{{\rm{f}}_0}(1\;790)}^2 - {\omega ^2} - i{m_{{{\rm{f}}_0}(1\;790)}}{\Gamma _{{{\rm{f}}_0}(1\;790)}}({\omega ^2})}} , \end{split} $

      其中 $c$、${c_i}$${\theta _i}$ 的參數取值源于LHCb的結果[14]

      $\qquad \begin{split} c = 3.500,\;\;{c_1} =& 0.900,\;\;{c_2} = 0.106,\;\;{c_3} = 0.066\\ {\theta _1} =& - {\text{π}} /2,\;{\theta _2} = {\text{π}} /4,\;{\theta _3} = 0. \end{split} $

      其它相關取值為:

      $\qquad \begin{split} &\begin{array}{*{20}{l}} {{m_{{{\rm{f}}_0}(980)}} = 0.97\;{\rm{GeV}},\;{m_{{{\rm{f}}_0}(1\;500)}} = 1.50\;{\rm{GeV}},\;} {{m_{{{\rm{f}}_0}(1\;790)}} = 1.81\;{\rm{GeV}},} \end{array}{g_{{\text{π}} {\text{π}} }} = 0.167,\;{g_{{\rm{KK}}}} = 3.47{g_{{\text{π}} {\text{π}} }}. \end{split} $

      圖1展示了衰變過程微擾可算的費曼圖,其中a類躍遷圖(可因子化圖)可以對頂角進行高階修正. 頂角修正在QCD因子化方法中很早就有文獻[19]分析,這里的頂角修正計算不需要考慮夸克在端點的橫動量效應,可以直接給出修正項. 它可以被吸收到Wilson系數里. 原來的Wilson系數組合為:

      圖  1  B衰變的費曼圖

      Figure 1.  Feynman diagrams for B decay

      $\qquad {d_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_i} + {c_{i + 1}}/3,(i = 1,3,5,7,9),}\\ {{c_i} + {c_{i - 1}}/3,(i = {\rm{2}},{\rm{4}},{\rm{6}},{\rm{8}},{\rm{10}}),} \end{array}} \right.$

      考慮頂角修正后變為

      $\qquad {d_i} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} {c_i} + \dfrac{{{c_{i + 1}}}}{3}\bigg[1 + \dfrac{{{\alpha _s}}}{{4{\text{π}} }}{C_F}{V_i}({\rm{M}})\bigg],(i = 1,3,5,7,9), \end{array}\\ \begin{array}{l} {c_i} + \dfrac{{{c_{i - 1}}}}{3}\bigg[1 + \dfrac{{{\alpha _s}}}{{4{\text{π}} }}{C_F}{V_i}({\rm{M}})\bigg],(i = {\rm{2}},{\rm{4}},{\rm{6}},{\rm{8}},{\rm{10}}), \end{array} \end{array}} \right.$

      式中 ${\rm{M}}$ 是指從弱相互作用出射的介子,其中,

      $\qquad {V_i}({\rm{M}}) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} 12\ln \dfrac{{{m_{\rm}}}}{\mu } - 18 + \dfrac{{2\sqrt 6 }}{{{f_{\rm{M}}}}}\displaystyle \int_0^1 {{\rm{d}}x\phi _{\rm{M}}^A(x)g(x),} (i = 1 ,\cdots, 4,9,10), \end{array}\\ \begin{array}{l} - 12\ln \dfrac{{{m_{\rm}}}}{\mu } + 6 - \dfrac{{2\sqrt 6 }}{{{f_{\rm{M}}}}}\displaystyle \int_0^1 {{\rm{d}}x\phi _{\rm{M}}^A(x)g(1 - x),} (i = 5,7), \end{array}\\ { - 6 + \dfrac{{2\sqrt 6 }}{{{f_{\rm{M}}}}}\displaystyle \int_0^1 {{\rm{d}}x\phi _{\rm{M}}^P(x)h(x),\;(i = 6,8)} }, \end{array}} \right. $

      硬散射函數:

      $\qquad \begin{split} g(x) =& 3\bigg(\frac{{1 - 2x}}{{1 - x}}\ln x - {\rm{i}}{\text{π}} \bigg) + [2L{i_2}(x) - {\ln ^2}x + \frac{{2\ln x}}{{1 - x}} - (3 + 2{\rm{i}}{\text{π}} )\ln x - (x \leftrightarrow 1 - x)], \\ \end{split} $

      $\qquad h(x) = 2L{i_2}(x) - {\ln ^2}x - (1 + 2{\rm{i}}{\text{π}} )\ln x - (x \leftrightarrow 1 - x).$

    • 由總的衰變率$ \Gamma = \dfrac{{{G_F}^2{M_{\rm{B}}}^5}}{{512{{\text{π}} ^4}}}\displaystyle \int\limits_0^1 {{\rm{d}}\eta } (1 - \eta )\displaystyle \int\limits_0^1 {{\rm{d}}\zeta {{\left| {M(\zeta ,\eta )} \right|}^2}} $即可算出分支比. 具體參數選擇${M_{\rm{B}}} = 5.28\;{\rm{GeV}},\; $${f_{\rm{B}}} = 0.19\;{\rm{GeV}},{\tau _{{{\rm{B}}^ + }}} = 1.641\;{\rm{ps}},\;{m_{\text{π}} } = 0.13\;{\rm{GeV}} $.

      對于CKM矩陣元,本文仍采用Wolfenstein參數化形式,為了對比修正結果,我們輸入同樣的參數:

      $\qquad \begin{split} \lambda &= 0.225\;35 \pm 0.000\;65;\;A = 0.817 \pm 0.015;\\ \bar \rho &= 0.136 \pm 0.018;\;\bar \eta = 0.348 \pm 0.014. \end{split} $

      用微擾QCD因子化方法計算包含已修正的分支比結果:

      $\qquad \begin{split} &Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(500)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) = [6.41_{ - 1.26}^{ + 1.18}({\omega _b})_{ - 0.78}^{ + 0.79}({m_{0{\text{π}}}})_{ - 0.55}^{ + 0.54}(a_2^{I = 0})] \times {10^{ - 9}},\\ &Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) = [1.25_{ - 0.46}^{ + 0.38}({\omega _b})_{ - 0.23}^{ + 0.21}({m_{0{\text{π}}}})_{ - 0.16}^{ + 0.15}(a_2^{I = 0})] \times {10^{ - 7}} , \\ &Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(1500)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) = [1.92_{ - 0.63}^{ + 0.54}({\omega _b})_{ - 0.35}^{ + 0.36}({m_{0{\text{π}}}})_{ - 0.27}^{ + 0.25}(a_2^{I = 0})] \times {10^{ - 8}}, \\ &Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(1790)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) = [5.66_{ - 0.82}^{ + 0.79}({\omega _b})_{ - 0.56}^{ + 0.54}({m_{0{\text{π}}}})_{ - 0.36}^{ + 0.38}(a_2^{I = 0})] \times {10^{ - 9}}. \\ \end{split} $

      主要誤差來自于輸入參數里的 ${\omega _b} = (0.40 \pm {0.04})\;{\rm{GeV}}$、${m_{0{\text{π}}}} = (1.4 \pm {0.1})\;{\rm{GeV}}$$a_2^{I = 0} = 0.2 \pm 0.2$. 由Wolfenstein參數等引入的誤差可以忽略不計.

      由pQCD的計算數據可繪出 ${{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0} (500,\;980,\;1\;500,\;1\;790) \to {{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }{{\text{π}}^ + }$ 的衰變譜線圖,如圖2所示.

      圖  2  B經共振態衰變到末態的衰變譜

      Figure 2.  The resonant contribution to the decays spectrum for B decay

      目前,粒子物理實驗的結果給出了 ${{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]$ 的上限是 $1.5 \times {10^{ - 6}}$. 作者在早期文獻[5]中計算了該衰變道的分支比結果,$Br ({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) = 7.3 \times {10^{ - 6}}$,遠超過實驗結果給出的限制. 為了分析該衰變道修正項貢獻的大小,本文在忽略頂角修正項貢獻后,重新計算 ${{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]$ 衰變:

      $\qquad Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) = 1.26 \times {10^{ - 7}}.$

      對比本文上述兩個 ${{\rm{f}}_0}(980)$ 的結果表明,頂角修正項的貢獻并不是很大. 本文的計算和文獻[5]的主要差別來源于標量粒子 ${{\rm{f}}_0}(980)$ 內部結構的模型差異,在考慮 ${\rm{n\bar n}}$${\rm{s\bar s}}$ 混合后,計算結果已滿足實驗結果的限制范圍.

    • 本文基于kT因子化理論,運用微擾QCD因子化方法重新計算 ${{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(980) \to {{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }{{\text{π}}^ + }$ 衰變. 在文獻[5]中作者給出了該衰變道的分支比結果,$Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) = 7.3 \times {10^{ - 6}}$. 本文忽略了貢獻很小的湮滅圖等貢獻. 基于LHCb的數據結果,引入Flatté和Briet?Wigner模型對類時形狀因子進行參數化處理,考慮到 ${\rm{s\bar s}}$ 的貢獻和頂角修正. 本文還同時分析了其他3個衰變道. 本次計算的結果分支比是

      $\qquad Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(500)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) = 6.41 \times {10^{ - 9}}, $

      $\qquad Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) = 1.25 \times {10^{ - 7}}, $

      $\qquad Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(1\;500)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) = 1.92 \times {10^{ - 8}}, $

      $\qquad Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(1\;790)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }]) = 5.66 \times {10^{ - 9}}. $

      目前實驗上給出 $Br({{\rm{B}}^ + } \to {{\text{π}}^ + }{{\rm{f}}_0}(980)[{{\text{π}}^ + }{{\text{π}}^ - }])$ 的上限數據是 $1.5 \times {10^{ - 6}}$,從已有的數據看本文的計算是相吻合的. 當然 ${{\rm{f}}_0}(980)$ 等粒子的內部結構目前還沒有一個確定的結論,本文和文獻[5]的計算結果對比,表明在涉及 ${{\rm{f}}_0}(980)$ 等標量粒子的衰變分析中,${\rm{s\bar s}}$ 的貢獻不容忽略. 隨著高能實驗的蓬勃發展,相信不久的將來能獲得更多的數據,從而可以檢驗我們理論計算結果的準確性.

參考文獻 (19)

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