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集值測度和非可加集值測度的f-散度

鞏增泰 申誠誠

引用本文:
Citation:

集值測度和非可加集值測度的f-散度

    通訊作者: 鞏增泰, zt-gong@163.com
  • 中圖分類號: O159

On the f-divergence for set-valued measures and non-additive set-valued measures

    Corresponding author: GONG Zeng-tai, zt-gong@163.com ;
  • CLC number: O159

  • 摘要: 散度作為信息之間的一種度量,在分類問題中因表示信息之間的差異程度而得到廣泛應用. 集值測度和非可加集值測度作為測度的推廣,定義和討論了集值測度和非可加集值測度的f-散度,H-散度和δ-散度,并利用集值的運算和偏序關系,證明了H-散度和δ-散度滿足三角不等式性質和對稱性,同時給出了集值測度和非可加集值測度Radon-Nikodym 導數存在的充分必要條件. 最后給出了算例.
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出版歷程
  • 收稿日期:  2019-12-01
  • 錄用日期:  2020-03-27
  • 網絡出版日期:  2020-05-15
  • 刊出日期:  2020-07-01

集值測度和非可加集值測度的f-散度

    通訊作者: 鞏增泰, zt-gong@163.com
  • 西北師范大學 數學與統計學院,甘肅 蘭州 730070

摘要: 散度作為信息之間的一種度量,在分類問題中因表示信息之間的差異程度而得到廣泛應用. 集值測度和非可加集值測度作為測度的推廣,定義和討論了集值測度和非可加集值測度的f-散度,H-散度和δ-散度,并利用集值的運算和偏序關系,證明了H-散度和δ-散度滿足三角不等式性質和對稱性,同時給出了集值測度和非可加集值測度Radon-Nikodym 導數存在的充分必要條件. 最后給出了算例.

English Abstract

  • 作為度量2類信息之間差異程度的數學指標,最早描述2個隨機分布差異性度量的是皮爾遜(Pearson)1900年的工作[1]. 1909年,Hellinger在文獻[2]中利用概率測度對于另一個概率測度的Radon-Nikodym導數,憑借所定義的距離函數研究了2個概率分布函數所表示的信息量之間的差異,已廣泛應用于數據挖掘[3]和密碼學[4]等領域. 而后,作為距離的推廣,Kullback和Leibler通過引入一種較距離函數弱的散度函數評估了2個概率分布之間的差異[5]. 事實上,散度作為信息之間的一種度量,在分類問題中因表示信息之間的差異程度而得到廣泛應用,因而基于不同背景和賦值描述的散度度量已有很多研究[6-11],包括Csiszar, Topse, Burbea, Beran, Dragomir, Jain基于不同背景和應用需要所提出的J-散度[6],Jensen-Shannon散度[7],算術幾何散度[8],Hellinger散度[9],對稱χ2-散度[10],和基于算術幾何平均的隨機分布散度等[11]. 眾所周知,概率測度的可列可加性所描述的是無誤差條件下屬性指標的測量問題,然而在實際應用中概率測度的可列可加性條件似乎太強,以至于人們很難充分把握. 尤其是當測量誤差不可避免,或當其涉及到主觀評判和非重復性實驗時,測量問題本質上是非可加的. 因此,作為概率測度推廣的非可加測度[12-14]和基于非可加測度的Choquet積分理論[15-20]已受到很多學者的關注. 正如Sugeno在文獻[20]中所述,對于Choquet積分的研究(完全類似于散度理論的討論)大多因為其在信息融合、機器學習、模式識別、決策分析等諸多領域中得到廣泛應用等原因而集中在離散的情形. 2016年以來,Torra等利用2個非可加測度對另一個非可加測度的Radon-Nikodym導數,以Choquet積分替代經典的Lebesgue積分定義和討論了基于非可加測度的f-散度[21],基于非可加測度的f-散度的離散情形[22],推廣了Hellinger, Csiszar, Dragomir, Kullback和Leibler等的結果. 集值映射以及作為測度推廣的集值測度(非可加集值測度)已經有了很多研究[23-26]. 本文定義和討論了集值測度(非可加集值測度)的f-散度,H-散度和δ-散度,并利用集合的運算和偏序關系,證明了H-散度和δ-散度滿足三角不等式性和對稱性,同時給出了集值測度(非可加集值測度) Radon-Nikodym導數存在的充分必要條件. 最后給出了相關例子.

    • XR上的非空集合,${P_0}(X)$ 表示其非空子集的全體,${\cal{B}}$X的子集族構成的σ-代數. (X,${\cal{B}}$) 為可測空間. 記 ${{\bf{R}}^ + } = [0,\infty ]$,${{\bf{R}}^ + }$ 上所有非空子集記為 ${P_0}({{\bf{R}}^ + })$,所有非空緊凸集記為 ${P_{kc}}({{\bf{R}}^ + })$. ${P_0}({{\bf{R}}^ + })$ 上的偏序關系,對于任意的 $A,B \in {P_0}({{\bf{R}}^ + })$,$A \leqslant B$ 是指:

      (1)對于任意的 ${x_0} \in A$,存在 ${y_0} \in B$ 使得 ${x_0} \leqslant {y_0}$;

      (2) 對于任意的 ${y_1} \in B$,存在 ${x_{\rm{1}}} \in A$,使的 ${x_1} \leqslant {y_1}$. 對于 $A,B \in {P_0}({{\bf{R}}^ + })$,$A + B = \{ a + b|a \in A,b \in B\} $,$A \cdot B = \{ a \cdot b|a \in A,b \in B\} $.

      對于可測空間 (X,${\cal{B}}$),如果集函數m: ${\cal{B}}$→[0,∞] 滿足m($\emptyset $)=0和可列可加性,則m稱為測度. 并記(X,${\cal{B}}$,m)為測度空間.

      X是非空集合,${\cal{B}}$X的子集族構成的σ-代數. 映射 $\;\;\mu : {\cal{B}}$→[0,∞] 稱為模糊測度,若 $\;\;\mu $ 滿足[12-14]:

      (1) $\;\mu (\emptyset ) = 0$;

      (2) 若 $A \subset B$,則 $\;\mu (A) \leqslant \;\mu (B)$;

      (3) 若 ${A_{_1}} \subset {A_2} \subset \cdots \subset {A_n}\subset \cdots$,則 $\;\mu (\mathop \cup \limits_{n = 1}^\infty {A_n}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\mu ({A_n})$;

      (4)若 ${A_{_1}} \supset {A_2} \supset \cdots \supset {A_n} \supset \cdots$,并且存在 ${n_0}$,使得 $\;\mu ({A_{{n_0}}}) < \infty $,則 $\;\mu (\mathop \cap \limits_{n = 1}^\infty {A_n}) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \;\mu ({A_n}).$

      $\;\mu $ 是模糊測度,則 (X,${\cal{B}}$,$\;\mu $) 稱為模糊測度空間. 模糊測度 $\;\mu $ 稱為是凹的,如果 $\;\mu (A \cup B) + $$ \;\mu (A \cap B) \leqslant \;\mu (A) + \;\mu (B)$,反之如果 $\;\mu (A \cup B) + \;\mu (A \cap B) \geqslant \;\mu (A) + \;\mu (B)$,則稱模糊測度 $\;\mu $ 是凸的.

      設(X,${\cal{B}}$,$\;\mu $)是模糊測度空間,$g:X \to {{\bf{R}}^ + }$ 是可測的實值函數,則函數 $g(x)$A上的Choquet 積分定義為[16]

      $\qquad (c)\int\limits_A {g{\rm{d}}} \;\mu = (L)\int_0^\infty {\;\mu (\{ x|g(x) \geqslant \alpha \} \cap A){\rm{d}}} \alpha .$

      定義 1[23,25] 設XR上的非空集合,${\cal{B}}$X的子集族構成的σ-代數, (X,${\cal{B}}$) 是一可測空間,稱集值映射 $\pi :{\cal{B}} \to {P_{kc}}({{\bf{R}}^ + })$ 為集值測度,若其滿足:

      (1) $\pi (\emptyset ) = \{ 0\}$;

      (2)對 $\{ {A_n}\} \in {\cal{B}}$,若 ${A_i} \cap {A_j} = \emptyset$,有 $\pi (\mathop \cup \limits_{n = 1}^\infty {A_n}) = \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\pi ({A_n})}$,$\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {\pi ({A_n})} = \{ \eta = \displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\eta _n}} ,{\eta _n} \in \pi ({A_n}),\displaystyle\sum\limits_{n = 1}^\infty {{\eta _n}} $ 一致收斂}.

      定義 2[15] 對于集值函數 $\theta : {\cal{B}} \to {P_{kc}}({{\bf{R}}^ + })$,稱 $\theta $ 為非可加集值測度,若 $\theta $ 滿足:

      (1) $\theta (\emptyset ) = \{ 0\}$;

      (2) $A,B \in {\cal{B}}$,$A \cap B = \emptyset ,\theta (A \cup B) \leqslant \theta (A) + \theta (B)$;

      (3) $A,B \in {\cal{B}}$,$A \subseteq B,\theta (A) \leqslant \theta (B)$.

      記 (X,${\cal{B}}$,$\pi )$,(X,${\cal{B}}$,$\theta $)分別為集值測度空間和非可加集值測度空間. 若 $\pi $ 為集值測度,m為測度,且對 $A \in {\cal{B}}$,有 $m(A) \in \pi (A)$,稱m$\pi $ 的選擇,記為 $m \in \pi $. 若 $\theta $ 是非可加集值測度,$\;\mu $ 是非可加測度,且對 $A \in {\cal{B}}$,有 $\;\mu (A) \in \theta (A)$,則稱 $\;\mu $$\theta $ 的選擇,記為 $\;\mu \in \theta $. 無特別說明,本文中 $m,{m_i}$ 為測度;$\;\mu ,{\;\mu _i}$ 為非可加測度;$\pi ,{\pi _i}$ 為集值測度;$\theta ,{\theta _i}$ 為非可加集值測度;$(A)\int {} $ 表示實值函數關于集值測度的 Aumann積分,$\int {} $ 表示實值函數關于測度的 Lebesgue 積分,$(C)\int {} $ 表示實值函數關于非可加集值測度的 Chouquet 積分,$(c)\int {} $ 表示實值函數關于非可加測度的Chouquet積分. Radon-Nikodym 導數簡寫成R-N導數;Hellinger距離簡寫成H-距離;Hellinger 散度簡寫成H-散度.

    • $\pi $ 是集值測度,m是測度,若 $\mathop {\lim }\limits_{m(A) \to \infty } \pi (A) = \{ 0\} $,則 $\pi $ 稱關于m是連續的[23],記作 $\pi \ll m$. 設 (X,${\cal{B}}$,$\pi $)是集值測度空間,$f:X \to {{\bf{R}}^ + }$ 為可測實值函數,$A \in {\cal{B}}$,fA上關于 $\pi $ 的 Aumann 積分定為 $(A)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}}} \pi =$${\bigg\{ \displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} m < \infty ,m \in \pi } \bigg\}}$. 設 ${\pi _1},{\pi _2}$ 是集值測度,${\pi _1} \ll m,{\pi _2} \ll m$,若存在非負可測實值映射 $g:X \to {\bf{R}}$,使得 ${\pi _1}(A) = (A)\displaystyle\int_A {g{\rm{d}}} {\pi _2}$,則稱g${\pi _1}$ 關于 ${\pi _2}$ 的R-N導數[24],記作 $g = {\rm{d}}{\pi _1}/{\rm{d}}{\pi _2}$$\dfrac{{{\rm{d}}{\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}}}$.

      定義 3 設(X,${\cal{B}}$,$\pi $)是集值測度空間,${\pi _1},{\pi _2},{\pi _3}$ 為集值測度,且關于測度m連續,若 ${\pi _1},{\pi _2}$ 關于 ${\pi _3}$ 的R-N導數存在,$f:{{\bf{R}}^{ + }} \to {{\bf{R}}^{ + }}$ 為凸函數,f(1)=0,則 ${\pi _1},{\pi _2}$ 關于 ${\pi _3}$ 的f-散度定義為

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = (A)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\Big(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\Big){\rm{d}} {\pi _3}.$

      注 1 特別地,在定義3條件下,稱:

      (1) ${H_{{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = \sqrt {\dfrac{1}{2}(A)\displaystyle\int {{{\Bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} \Bigg)}^2}{\rm{d}} {\pi _3}} }$${\pi _1},{\pi _2}$ 關于 ${\pi _3}$ 的H-散度. 取 $f(x) = {(1 - \sqrt x )^2}$,則 ${H_{{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = \sqrt {\dfrac{1}{2}{D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})} $;

      (2) ${\delta _{{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = \dfrac{1}{2}(A)\displaystyle\int {\Big|\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}\Big|} {\rm{d}} {\pi _3}$${\pi _1},{\pi _2}$ 關于 ${\pi _3}$$\delta $-散度. 若令 $f(x) = |x - 1|$,則 ${\delta _{{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = $$ \dfrac{1}{2}{D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})$.

      注 2 當定義3中的集值測度退化為經典測度時,對應f-散度,H-散度與 $\delta $-散度分別退化為經典意義下的f-散度[21],H-距離[21]$\delta $-距離[21]. 特別地,當測度為離散的概率分布時,其f-散度,H-散度與 $\delta $-散度分別表示概率分布的f-散度[10],H-距離[10]$\delta $-距離[10].

      關于2個集值測度的R-N導數存在性,文獻[25]已經進行了討論.

      引理 1[25] 設 ${\pi _1},{\pi _2}$ 是2個集值測度,${\pi _i} \ll m,i = 1,2$,則存在可積映射 $h:X \to {\bf{R}}$ 使得 ${\pi _1}(A) = \displaystyle\int\limits_A {h{\rm{d}} } {\pi _2}$ 的充要條件是:

      (1) 對 ${\pi _1}$ 的任意選擇 ${m_1}$,存在 ${\pi _2}$ 的選擇 ${m_2}$,使得 ${m_1}(A) = \displaystyle\int\limits_A h {\rm{d}} {m_2}$;

      (2) 對 ${\pi _2}$ 的任意選擇 ${m_2}$,存在 ${\pi _1}$ 的選擇 ${m_1}$,使得 ${m_1}(A) = \displaystyle\int\limits_A h {\rm{d}} {m_2}$.

      性質 1 對于任意2個集值測度 ${\pi _1},{\pi _2}$,若 ${\pi _1}{\rm{ = }}{\pi _2}$,則 ${D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}){\rm{ = \{ 0\} }}$.

      性質 2 集值測度的H-散度與 $\delta $-散度滿足對稱性.

      性質 3 對于集值測度 ${\pi _1},{\pi _2},{\pi _3},{\pi _4}$,若 ${\pi _1},{\pi _2},{\pi _3}$ 關于 ${\pi _4}$ 的R-N導數存在,則

      $\qquad {H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _2}) + {H_{{\pi _4}}}({\pi _2},{\pi _3}) \geqslant {H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _3}).$

      性質 4 對于集值測度 ${\pi _1},{\pi _2},{\pi _3},{\pi _4}$,若 ${\pi _1},{\pi _2},{\pi _3}$ 關于 ${\pi _4}$ 的R-N導數存在,則

      $\qquad {\delta _{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _2}){\rm{ + }}{\delta _{{\pi _4}}}({\pi _2},{\pi _3}) \geqslant {\delta _{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _3}).$

      證明 不難驗證,性質1和性質2成立,性質4 的證明完全類似于性質3. 我們只證明性質3,設 $a \in {H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _3})$,即存在 ${\pi _4}$ 的一個選擇 ${m_1}$,使得 $a \!\!=\!\! \sqrt {\dfrac{1}{2}\displaystyle\int {{{\left( {\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} } \right)}^2}{\rm{d}} {m_1}} }$. 由于H-距離滿足三角不等式性,得

        $a = \sqrt {\dfrac{1}{2}\displaystyle\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \!-\! \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {m_1}} } \! \leqslant \! \sqrt {\dfrac{1}{2}\displaystyle\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \!-\! \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {m_1}} } {\rm{ + }}\sqrt {\dfrac{1}{2}\displaystyle\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \!-\! \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {m_1}} } \in$

          ${H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _2}) +{H_{{\pi _4}}}({\pi _2},{\pi _3}) $.

      另一方面,設 $b \in {H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _2}) + {H_{{\pi _4}}}({\pi _2},{\pi _3})$,即存在 ${\pi _4}$ 的2個選擇 ${m_2},{m_3}$(取 $m = \min \{ {m_2},{m_3}\} $),使得

        $b = \sqrt {\dfrac{1}{2}\displaystyle\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {m_2}} } {\rm{ + }}\sqrt {\dfrac{1}{2}\displaystyle\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {m_3}} }$.

      $c = \sqrt {\dfrac{1}{2}\displaystyle\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} m} }$,則 $b \geqslant c$. 故 ${H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _2}) + {H_{{\pi _4}}}({\pi _2},{\pi _3}) \geqslant {H_{{\pi _4}}}({\pi _1},{\pi _3})$. 證畢.

      注 3 由性質2,集值測度的H-散度與 $\delta $-散度滿足對稱性,但是集值測度的f-散度不一定滿足對稱性,例如,令 $f(x) = {(x - 1)^2}$,有 ${D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = \displaystyle\int {\dfrac{{{{\left( {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} \right)}^2}}}{{\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}}}} {\rm{d}} {\pi _3}$,顯然不滿足對稱性. 但是,在實際應用中若需要滿足對稱性,只需改造為 ${{\rm{D}}^{\rm{*}}}_{f,{\pi _3}}({\pi _1},{\pi _2}) = \dfrac{1}{2}\left( {(A)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {\pi _3} + (A)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {\pi _3}} \right)$. 不過本文所討論的只是定義3的情形.

      定理 1 設 (X,${\cal{B}}$,$\pi $) 是集值測度空間,${\pi _1},{\pi _2},{\pi _{_3}}$ 是集值測度,若 ${\pi _1},{\pi _2}$ 關于 ${\pi _3}$ 的R-N導數存在,則 ${\pi _1},{\pi _2}$ 關于 ${\pi _3}$ 的f-散度是一個緊凸集.

      證明 首先證明凸性,由定義3 可知,${\pi _1},{\pi _2}$ 關于 ${\pi _3}$ 的f-散度為 ${{\rm{D}}_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2}) = (A)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {\pi _3}$. 對于任意的 $x,y \in {{\rm{D}}_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})$,存在 ${\pi _3}$ 的選擇 ${m_1},{m_2}$,使得 $x = \displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_1},y = \displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_2}$,對于任意的 $\alpha \in (0,1)$,

      $\qquad \begin{split} \alpha x + (1 - \alpha )y =& \alpha \int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_1} + (1 - \alpha )\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_2} = \\ &\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} \alpha {m_1} + \int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} (1 - \alpha ){m_2}{\rm{ = }}\\ &\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} (\alpha {m_1} + (1 - \alpha ){m_2}). \end{split} $

      由于 ${\pi _3}$ 是緊凸集值映射,所以存在 ${m_3} \in {\pi _3}$,使得對任意的 $A \in {\cal{B}}$,有 ${m_3}(A) = \alpha {m_1}(A) + (1 - \alpha ){m_2}(A)$,即 $\alpha x + (1 - \alpha )y = \displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_3}$. 因此 $\alpha x + (1 - \alpha )y \in {D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})$,故 ${D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})$ 是一個凸集.

      下面我們證明緊性,對于任意的有界無限點列 $\{ {x_n}\} \in {D_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})\left( {n = 1,2,3, \cdots } \right)$,存在一列 ${\pi _3}$ 的選擇列 $\{ {m_n}\} $,使得 ${x_n} = \displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_n}$. 顯然 $\{ {m_n}(X)\} $ 是有界無限點列,因為 ${\pi _3}$ 是緊凸集值映射,所以 $\{ {m_n}(X)\} $ 存在收斂子列 $\{ {m_{{n_k}}}(X)\} $,不妨設遞增收斂到 $\gamma $,則相對應的 $\{ {x_n}\} $ 存在一列遞增點列 $\bigg\{ {x_{{n_k}}} = \displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} {m_{{n_k}}}\bigg\}$,由單調有界收斂定理可知 $\{ {x_{{n_k}}}\} $ 收斂,并且有 $\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k}}} = \displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _2}}}{{{\rm{d}} {\pi _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\pi _1}/{\rm{d}} {\pi _3}}}{{{\rm{d}} {\pi _2}/{\rm{d}} {\pi _3}}}\bigg){\rm{d}} \gamma .$${{\rm{D}}_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})$ 是一個緊集.

      綜上,${{\rm{D}}_{f,{\pi _3}}}({\pi _1},{\pi _2})$ 是一個緊凸集. 證畢.

      例 1 設m是區間[0,1]上的Lebesgue 測度,${\cal{B}}$ 是[0,1]上的Borel-σ代數,${m_1}:A \to $$\displaystyle\int\limits_A {t{\rm{d}} m} ,{m_2}: A \to \displaystyle\int\limits_A {t + 1{\rm{d}} m}$,$A \in {\cal{B}}$,由Lebesgue 積分的性質可知,${m_1},{m_2}$ 是測度,令 $\pi (A) = [0,m(A)]$,${\pi _1}(A) = [0,{m_1}(A)]$,${\pi _2}(A) = [0,{m_2}(A)]$,不難驗證 $\pi ,{\pi _1},{\pi _2}$ 都是集值測度,其中 ${\pi _1}$ 關于 $\pi $ 的R-N導數為 ${g_1}(t) = t$,${\pi _2}$ 關于 $\pi $ 的R-N導數為 ${g_2}(t) = t + 1$,則 ${\pi _1},{\pi _2}$ 關于 $\pi $ 的f-散度為

      $\qquad {D_{f,\pi }}({\pi _1},{\pi _2}) = (A)\int\nolimits_0^1 {(t + 1)f\Big(\dfrac{t}{{t + 1}}\Big){\rm{d}} \pi = \left[ {0,\int\nolimits_0^1 {(t + 1)f\Big(\dfrac{t}{{t + 1}}\Big){\rm{d}} m} } \right]} .$

      特別地,H-散度為

      $\qquad \begin{split} {H_{\pi} }({{\pi}_1},{{\pi} _2}) =& \left[ {0,\left. {\sqrt {\dfrac{1}{2}\int\nolimits_0^1 {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {{\pi} _1}}}{{{\rm{d}} {\pi} }}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {{\pi} _2}}}{{{\rm{d}} {\pi} }}} \bigg)}^2}} {\rm{d}} m} } \right]} \right. = \left[ {0,\left. {\sqrt {\dfrac{1}{2}\int\nolimits_0^1 {{{(\sqrt t - \sqrt {t + 1} )}^2}} {\rm{d}} t} } \right]} \right. = \\ &\left[ {0,\left. {\dfrac{1}{4}(3\sqrt 2 - \ln (1 + \sqrt 2 ))} \right]} \right.. \end{split}$

      $\delta $-散度為 ${\delta _{ \pi} }({{\pi} _1},{{\pi} _2}) = \dfrac{1}{2}(A)\displaystyle\int\limits_0^1 {\Big|\dfrac{{{\rm{d}} {{\pi} _1}}}{{{\rm{d}}{ \pi} }} - \dfrac{{{\rm{d}} {{\pi} _2}}}{{{\rm{d}} {\pi} }}\Big|} {\rm{d}} {\pi} = \bigg[0,\dfrac{1}{2}\bigg]$.

    • 設 (X,${\cal{B}}$,$\theta $) 為非可加集值測度空間,對任意的 $A \in {\cal{B}}$,令 ${\;\mu _1}(A) = \inf \theta (A),{\;\mu _2}(A) = \sup \theta (A)$,記 ${\;\mu _1}$$\theta $ 的最小選擇,${\;\mu _2}$$\theta $ 的最大選擇. 顯然 ${\;\mu _1} \in \theta ,{\;\mu _2} \in \theta $.

      $\theta $ 為非可加集值測度,f是一個可測實值函數,$A \in {\cal{B}}$,fA上關于 $\theta $ 的 Choquet 積分定義為 $(C)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } \theta = \bigg\{ \displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} \;\mu < \infty ,\;\mu \in \theta } \bigg\}$.

      定義 4 設(X,${\cal{B}}$,$\theta $)為非可加集值測度空間,${\theta _1},{\theta _2}$ 是非可加集值測度,若存在非負可測實值函數g,使得 ${\theta _1}(A) = (C)\displaystyle\int\limits_A {g{\rm{d}} } {\theta _2}$,$A \in {\cal{B}}$,則稱g${\theta _1}$ 關于 ${\theta _2}$ 的R-N導數,記作 $g = {\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _2}$$\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}}}$.

      定義 5 設(X,${\cal{B}}$,$\theta $) 為非可加集值測度空間,${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 是非可加集值測度,若 ${\theta _1},{\theta _2}$ 關于 ${\theta _3}$ 的R-N導數存在,$f:{{\bf{R}}^{+}} \to {{\bf{R}}^{+}}$ 為凸函數,f(1)=0,則 ${\theta _1},{\theta _2}$ 關于 ${\theta _3}$ 的f-散度定義為

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = (C)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\theta _3}.$

      注 4 特別地,在定義5條件下,稱:

      (1) ${H_{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \sqrt {\dfrac{1}{2}(C)\displaystyle\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\theta _3}} }$${\theta _1},{\theta _2}$ 關于 ${\theta _3}$ 的H-散度. 取 $f(x) = {(1 - \sqrt x )^2}$,則

        ${H_{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \sqrt {\dfrac{1}{2}{D_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})} $;

      (2) ${\delta _{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \dfrac{1}{2}({\rm{C}})\displaystyle\int {\Big|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}\Big|} {\rm{d}} {\theta _3}$${\theta _1},{\theta _2}$ 關于 ${\theta _3}$$\delta $-散度. 若令 $f(x) = |x - 1|$,則

        ${\delta _{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = $$\dfrac{1}{2}{D_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}).$

      注 5 當定義 5中的非可加集值測度退化為非可加測度時,對應f-散度,H-散度與 $\delta $-散度分別退化為非可加測度的f-散度[21],H-距離[21]$\delta $-距離[21].

      對于非可加集值測度的 $ f$-散度而言,首先是對其R-N導數進行討論與刻畫,對此我們有如下結論.

      定理 2 設(X,${\cal{B}}$,$\theta $) 為非可加集值測度空間,${\theta _1},{\theta _2}$ 是非可加集值測度,${\;\mu _i}^S,{\;\mu _i}^I$ 分別是 ${\theta _i}$ 的最大選擇與最小選擇,i=1,2,且 $\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _1}^S}}{{{\rm{d}} {\mu _2}^S}} = f,\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _1}^I}}{{{\rm{d}} {\mu _2}^I}} = g$,則存在一個可積映射h${\theta _1}$ 關于 ${\theta _2}$ 的R-N導數的充分必要條件是f幾乎處處等于g.

      證明 “$ \Rightarrow $” 由條件可知 ${\theta _1}(A) = (C)\displaystyle\int\limits_A {h{\rm{d}} } {\theta _2}$,對于 ${\theta _2}$ 的最小選擇 ${\;\mu _{\rm{2}}}^I$,存在選擇 $\;\mu \in {\theta _1}$,使得 $\;\mu (A) = (c)\displaystyle\int\limits_A h {\rm{d}} {\mu _2}^I$,顯然 $\;\mu $${\theta _1}$ 的最小選擇,即 $\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _1}^I}}{{{\rm{d}} {\mu _2}^I}} = h$. 同理可知 $\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _1}^S}}{{{\rm{d}} {\mu _2}^S}} = h$,所以f幾乎處處等于g.

      $ \Leftarrow $” 只需要證明f${\theta _1}$ 關于 ${\theta _2}$ 的R-N導數即可,即只需要證明 ${\theta _1}(A) = (C)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\theta _2}$,$A \in {\cal{B}}$. 首先由 ${\theta _2}$ 的緊凸性可知 $(C)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\theta _2}$ 是一個緊凸集,對于任意的 $x \in {\theta _1}(A)$,令 $\alpha = \dfrac{{{\;\mu _1}^s(A) - x}}{{{\;\mu _1}^s(A) - {\;\mu _1}^I(A)}}$,則有 $x = \alpha {\;\mu _1}^I(A) + (1 - \alpha ){\;\mu _1}^S(A)$,而 ${\;\mu _1}^S(A) = (c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\;\mu _2}^S,{\;\mu _1}^I(A) = (c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\;\mu _2}^I$,由 ${\theta _2}$ 的緊凸性可知,存在 ${\theta _2}$ 的選擇 $\;\mu = \alpha {\;\mu _1}^I + (1 - \alpha {\rm{)}}{\;\mu _{\rm{1}}}^S$,使得 $x = (c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } \;\mu$,則 $x \in (C)\displaystyle\int\limits_A {h{\rm{d}} } {\theta _2}$,所以 ${\theta _1}(A) \subset (C)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\theta _2}$.

      對于任意的 $y \in (C)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\theta _2}$,存在 ${\theta _2}$ 的選擇 $\;\mu $ 使得 $y = (c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } \mu$,顯然 $(c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\;\mu _2}^I \leqslant y \leqslant (c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\mu _2}^S$,令 $\alpha = \dfrac{{(c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\mu _2}^S - y}}{{(c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\mu _2}^S - (c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\mu _2}^I}}$,則有 $y = \alpha (c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\mu _2}^I + (1 - \alpha )(c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\mu _2}^S$,由于 ${\theta _1}(A)$ 是一個緊凸集,并且有 $(c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\;\mu _2}^I \in {\theta _1}(A),(c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\;\mu _2}^S \in {\theta _1}(A)$,所以有 $y \in {\theta _1}(A)$,故 ${\theta _1}(A) \supset (C)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\theta _2}.$ 所以 ${\theta _1}(A) = (C)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } {\theta _2}$. 證畢.

      引理 2[21] 設(X,${\cal{B}}$,$\;\mu $) 是模糊測度空間,f,g都是非負可測的實值函數,則:

      (1) 若 $\;\mu $ 是凹的,則 $(c)\displaystyle\int\limits_A {(f + g){\rm{d}} } \mu \leqslant (c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } \mu + (c)\displaystyle\int\limits_A g {\rm{d}} \mu$;

      (2) 若 $\;\mu $ 是凸的,則 $(c)\displaystyle\int\limits_A {(f + g){\rm{d}} } \mu \geqslant (c)\displaystyle\int\limits_A {f{\rm{d}} } \mu + (c)\displaystyle\int\limits_A g {\rm{d}} \mu$.

      引理 3[21] 設(X,${\cal{B}}$,$\;\mu $) 是模糊測度空間,f,g都是非負可測的實值函數,若 $\;\mu $ 是凹模糊測度,則

        ${\left[ {(c)\displaystyle\int {{{(f + g)}^2}{\rm{d}} \mu } } \right]^{\frac{1}{2}}} \leqslant {\left[ {(c)\displaystyle\int {{f^2}{\rm{d}} \mu } } \right]^{\frac{1}{2}}} + {\left[ {(c)\displaystyle\int {{g^2}{\rm{d}} \mu } } \right]^{\frac{1}{2}}}$.

      性質 5 對于任意2個非可加集值測度 ${\theta _1},{\theta _2}$,若 ${\theta _1} = {\theta _2}$,則 ${D_{f,\theta_3}}({\theta _1},{\theta _2}) = \{ 0\} $.

      性質 6 非可加集值測度的H-散度與 $\delta $-散度滿足對稱性.

      性質 7 設 ${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3},{\theta _4}$ 是非可加集值測度,若 ${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 關于 ${\theta _4}$ 的R-N導數存在,并且 ${\theta _4}$ 的最大選擇與最小選擇都是凹模糊測度,則有 ${H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {H_{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}) \geqslant {H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$.

      證明 設有 ${\;\mu _1},{\;\mu _2}$ 分別是 ${\theta _4}$ 的最小選擇與最大選擇,對任意的 $a \in {H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {H_{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3})$,存在 ${\theta _4}$ 的選擇 ${\;\mu _3},{\;\mu _4}$ 使得 $a = \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\displaystyle\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _3}} } + \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\displaystyle\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _4}} }$. 由引理3可知

      $\qquad \begin{split} a =& \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _3}} } + \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _4}} } \geqslant \\[-3pt] &\sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _1}} } + \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _1}} } \geqslant\\[-3pt] &\sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _1}} } \in {H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3}). \end{split} $

      另一方面,對于任意的 $b \in {H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$. 存在 ${\theta _4}$ 的選擇 ${\;\mu _5}$ 使得

      $\qquad \begin{split} b =& \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _5}} } \leqslant \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _2}} } \leqslant \\ &\sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _2}} } + \sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\bigg(\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}} \bigg)}^2}{\rm{d}} {\mu _2}} } \in {H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {H_{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}). \end{split} $

      所以,${H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {H_{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}) \geqslant {H_{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$. 證畢.

      性質 8 設 ${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3},{\theta _4}$ 是非可加集值測度,若 ${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 關于 ${\theta _4}$ 的R-N導數存在,并且 ${\theta _4}$ 的最大選擇與最小選擇都是凹模糊測度,則有 ${\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}) \geqslant {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$.

      證明 設有 ${\;\mu _1},{\;\mu _2}$ 分別是 ${\theta _4}$ 的最小選擇與最大選擇,對任意的 $a \in {\theta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {\theta _{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3})$,存在 ${\theta _4}$ 的選擇 ${\;\mu _3},{\;\mu _4}$ 使得 $a = \dfrac{1}{2}(c)\displaystyle\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _3} + \dfrac{1}{2}(c)\displaystyle\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _4}$. 由引理2可知

      $\qquad \begin{split} a =& \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _3} + \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _4} \geqslant \\ &\dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _1} + \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _1} \geqslant\\ &\dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} + \bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|{\rm{d}} {\mu _1} \geqslant \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _1} \in {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3}). \end{split} $

      另一方面,對于任意的 $b \in {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$. 存在 ${\theta _4}$ 的選擇 ${\;\mu _5}$ 使得

      $\qquad \begin{split} b =& \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _5}\leqslant \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _2} \leqslant \\ &\dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _2} + \dfrac{1}{2}(c)\int {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}\bigg|} {\rm{d}} {\mu _2} \in {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}). \end{split} $

      所以,${\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}) \geqslant {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$. 證畢.

      注 6 在性質7和性質8中,當最大選擇與最小選擇為凸模糊測度時,不等式并不成立,并且相反的情況也不成立. 例如,設 ${h_1} = \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}},{h_2} = \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}},{h_3} = \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _4}}}$,則 ${h_1} + {h_2} = {h_3}$. 設 ${\;\mu _2}$${\theta _4}$ 的最大選擇,若 ${h_1},{h_2},{h_3}$ 都是非負的,由于 ${\;\mu _2}$ 是凸模糊測度,由引理 2 可知 $(c)\displaystyle\int\limits_A {({h_1} + {h_2}){\rm{d}} } {\mu _2} \geqslant (c)\displaystyle\int\limits_A {{h_1}{\rm{d}} } {\mu _2} + (c)\displaystyle\int\limits_A {} {h_2}{\rm{d}} {\mu _2}$,則

        ${\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}) \geqslant {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$

      不成立. 若令 ${h_1} = 1,{h_2} = - 1$,則 ${h_3}{\rm{ = 0}}$. 而

        $(c)\displaystyle\int\limits_A {({h_1} + {h_2}){\rm{d}} } {\mu _2} \leqslant (c)\displaystyle\int\limits_A {|{h_1}|{\rm{d}} } {\mu _2} +$$(c)\displaystyle\int\limits_A {} |{h_2}|{\rm{d}} {\mu _2}$,

      所以 ${\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _2}) + {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _2},{\theta _3}) \leqslant {\delta _{{\theta _4}}}({\theta _1},{\theta _3})$ 也不成立.

      定理 3 設(X,${\cal{B}}$,$\theta $) 是非可加集值測度空間,${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 是非可加集值測度,若 ${\theta _1},{\theta _2}$ 關于 ${\theta _3}$ 的R-N導數存在,則 ${\theta _1},{\theta _2}$ 關于 ${\theta _3}$ 的f-散度是一個緊凸集.

      證明 首先證明凸性,由定義5知,則 ${\theta _1},{\theta _2}$ 關于 ${\theta _3}$ 的f-散度為 ${{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = (C)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\theta _3}$. 對于任意的 $x,y \in {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$,存在 ${\theta _3}$ 的選擇 ${\;\mu _1},{\;\mu _2}$ 使得

      $\qquad x = (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1},y = (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}. $

      對于任意的 $\alpha \in \left( {0,\left. 1 \right)} \right.$,

      $\qquad \alpha x + (1 - \alpha )y = \alpha (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1} + (1 - \alpha )(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}.$

      由Chouquet 積分的性質可知

      $\qquad \alpha x + (1 - \alpha )y = (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} (\alpha {\mu _1} + (1 - \alpha ){\mu _2}).$

      由于 ${\theta _3}$ 是緊凸集值映射,所以存在 ${\;\mu _3} \in {\theta _3}$,使得 ${\;\mu _3} = \alpha {\;\mu _1} + (1 - \alpha ){\;\mu _2}$,即

      $\qquad \alpha x + (1 - \alpha )y = (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _3}.$

      因此 $\alpha x + (1 - \alpha )y \in {D_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$,故 ${{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$ 是一個凸集.

      下面我們證明緊性,對于任意的有界無限點列 $\{ {x_n}\} \subset {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})(n = 1,2,3, \cdots),$ 存在一列 ${\theta _3}$ 的選擇列 $\{ {\;\mu _n}\} $ 使得 ${x_n} = (c)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _n}$,顯然 $\{ {\;\mu _n}\} $ 是有界無限點列,因為 ${\theta _3}$ 是緊凸集值映射,所以 $\{ {\;\mu _n}\} $ 存在收斂子列 $\{ {\;\mu _{{n_k}}}\} $,不妨設遞增收斂到 $\gamma $,則相對應的 $\{ {x_n}\} $ 存在一列遞增點列 $\bigg\{ {x_{{n_k}}} = (c)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _{{n_k}}}\bigg\}$,由單調有界收斂定理可知 ${x_{{n_k}}}$ 收斂,由Chouquet 積分的性質可知,$\mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } {x_{{n_k}}} = (c)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} \gamma$. 故 ${{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$ 是一個緊集.

      綜上,${{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$ 是一個緊凸集. 證畢.

      定理 4 設 ${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 是非可加集值測度,${\;\mu _1}$${\theta _3}$ 的最小選擇,${\;\mu _2}$ 是其最大選擇.

      $(c)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1} < \infty$ 時,

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) \subseteq \left[ {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1},} \right.\left. {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}} \right].$

      $(c)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2} < \infty$ 時,

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \left[ {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1},} \right.\left. {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}} \right].$

      證明 當 $(c)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1} < \infty$ 時,${{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$ 非空. 設 $a \in {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$,則存在 ${\theta _3}$ 的選擇 ${\;\mu _3}$ 使得 $a = (c)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _3}$,由Chouquet積分的性質可知

      $\qquad (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1} \leqslant (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _3} \leqslant (c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}.$

      所以 $a \in \left[ {(c)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1},} \right.\left. {(c)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}} \right].$

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) \subseteq \left[ {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1},} \right.\left. {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}} \right].$

      $(c)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2} < \infty$ 時,$(c)\displaystyle\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2} \in {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2})$,所以

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \left[ {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _1},} \right.\left. {(c)\int {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} f\bigg(\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}/{\rm{d}} {\theta _3}}}{{{\rm{d}} {\theta _2}/{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg){\rm{d}} {\mu _2}} \right].$

      證畢.

      例 2[20-21] 設 $m{\rm{:}}{\operatorname{R} ^ + } \to {{\rm{R}}^ + }$ 是一個連續遞增的函數,m(0)=0,$\lambda $ 是一個Lebesgue測度,${\;\mu _m}$ 是一個集函數,定義 ${\;\mu _m}(A) = m(\lambda (A))$. 稱 ${\;\mu _m}$ 是由m誘導的變異Lebesgue測度,顯然 ${\;\mu _m}$ 是一個非可加測度.

      引理 4[20-21] 設f(t)是連續遞增的函數,f(0)=0,${\;\mu _m}$ 是由m誘導的變異Lebesgue測度,則存在一個非減函數g,使得 $f(t) = (c)\displaystyle\int\limits_{[0,t]} g {\rm{d}} {\mu _m}$,g如下示:

      $\qquad G(s) = \dfrac{{F(s)}}{{sM(s)}};g(t) = {L^{ - 1}}(\dfrac{{F(s)}}{{sM(s)}}).$

      其中 $F(s)$f的Laplace 變換,$G(s)$g的Laplace 變換,M(s)是m的Laplace變換.

      例 3 設 $\;\mu $$\left[ {a,b} \right]$ 上的非可加測度,a大于0,${\cal{B}}$$\left[ {a,b} \right]$ 上的Borel-$\sigma $ 代數,${\theta _3}(A):A \to [0,\;\mu (A)]$,${\theta _1}(A): A \to [0,(c)\displaystyle\int\limits_A {t{\rm{d}} } \;\mu ],{\theta _2}(A):A \to [0,(c)\displaystyle\int\limits_A {(t + 1){\rm{d}} } \;\mu ]$,$A \in {\cal{B}}$,由Chouquet 積分的性質可知,${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 都是非可加集值測度,${\theta _1}$ 關于 ${\theta _3}$ 的R-N導數為 ${g_1}(t) = t$,${\theta _2}$ 關于 ${\theta _3}$ 的R-N導數為 ${g_1}(t) = t+1$. 由定理4 可知其f-散度為

      $\qquad {D_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = (C)\int\nolimits_a^b {(t + 1)f\Big(\dfrac{t}{{t + 1}}\Big)} {\rm{d}} {\theta _3} = \left[ {0,\int\nolimits_a^b {(t + 1)f\Big(\dfrac{t}{{t + 1}}\Big)} {\rm{d}} \;\mu } \right].$

      特別地,$\delta$-散度為

      $\qquad {\delta _{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \left[ {0,\dfrac{1}{2}(c)\int\nolimits_a^b {\bigg|\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}} - \dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}\bigg|} {\rm{d}} \;\mu } \right] = \left[ {0,\dfrac{1}{2}\;\mu ([a,b])} \right].$

      H-散度為

      $\qquad {H_{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \left[ {0,\sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {{{\left( {\sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} - \sqrt {\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}}} } \right)}^2}{\rm{d}} \;\mu } } } \right] = \left[ {0,\sqrt {\dfrac{1}{2}(c)\int {(\sqrt t - \sqrt {t + 1} } {)^2}{\rm{d}} \;\mu } } \right].$

      例 4 設非可加集值測度 ${\theta _1},{\theta _2},{\theta _3}$ 分別為 ${\theta _1} = [{\;\mu _{{m_1}}},{\;\mu _{{n_1}}}],{\theta _2} = [{\;\mu _{{m_2}}},{\;\mu _{{n_2}}}],{\theta _3} = [{\;\mu _{{m_3}}},{\;\mu _{{n_3}}}]$,${\;\mu _{{m_i}}},{\;\mu _{{n_i}}}$ 分別是由 ${m_i},{n_i}$ 誘導的變異Lebesgue測度,i=1,2,3,${m_1}(t) = t,{n_1}(t) = \dfrac{3}{2}t,{m_2}(t) = \dfrac{1}{2}{t^2},{n_2}(t) = \dfrac{3}{4}{t^2},{m_3}(t) = t,{n_3}(t) = \dfrac{3}{2}t$. 顯然 $\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _{{m_1}}}}}{{{\rm{d}} {\mu _{{m_3}}}}} = 1,\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _{{n_1}}}}}{{{\rm{d}} {\mu _{{n_3}}}}} = 1$,設 $\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _{{m_2}}}}}{{{\rm{d}} {\mu _{{m_3}}}}} = {g_1}(t),\dfrac{{{\rm{d}} {\mu _{{n_2}}}}}{{{\rm{d}} {\mu _{{n_3}}}}} = {g_2}(t)$,由引理4可知,

      $\qquad {g_1}(t) = {L^{ - 1}}\bigg(\dfrac{{{M_2}(s)}}{{s{M_3}(s)}}\bigg) = t,{g_2}(t) = {L^{ - 1}}\bigg(\dfrac{{{N_2}(s)}}{{s{N_3}(s)}}\bigg) = t. $

      其中,${M_2}(s),{M_3}(s),{N_2}(s),{N_3}(s)$ 分別是 ${m_2},{m_3},{n_2},{n_3}$ 的Laplace變換. 由定理2可知 ${\theta _1},{\theta _2}$ 關于 ${\theta _3}$ 的R-N導數存在且 $\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _1}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}} = 1,\dfrac{{{\rm{d}} {\theta _2}}}{{{\rm{d}} {\theta _3}}} = t$,所以 ${\theta _1},{\theta _2}$ 關于 ${\theta _3}$ 的:

      f-散度為

      $\qquad {{\rm{D}}_{f,{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = (C)\int t f\bigg(\dfrac{1}{{{t_{}}}}\bigg){\rm{d}} {\theta _3};$

      H-散度為

      $\qquad {H_{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \sqrt {\dfrac{1}{2}(C)\int {{{(1 - \sqrt t )}^2}{\rm{d}} {\theta _3}} } ;$

      $\delta$-散度為

      $\qquad {\delta _{{\theta _3}}}({\theta _1},{\theta _2}) = \dfrac{1}{2}({\rm{C}})\int {|1 - t|} {\rm{d}} {\theta _3}.$

    • 本文定義和討論了集值測度和非可加集值測度的f-散度,H-散度和 $\delta $-散度. 給出了集值測度和非可加集值測度Radon-Nikodym導數存在的充分必要條件. 期望能夠應用到對象的屬性值賦值為集值的信息系統的決策、融合和分類等相關問題中.

參考文獻 (26)

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