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3p階群的3度bi-Cayley圖

王麗 王紫璇 李圓

引用本文:
Citation:

3p階群的3度bi-Cayley圖

    通訊作者: 王麗, wanglimath@hpu.edu.cn
  • 中圖分類號: O157.5; O152.5

Cubic bi-Cayley graphs over a group of order 3p

    Corresponding author: WANG Li, wanglimath@hpu.edu.cn ;
  • CLC number: O157.5; O152.5

  • 摘要: 稱一個圖是群H上的bi-Cayley圖,如果它有一個同構于H的半正則自同構群且作用在頂點集 上恰有2個軌道. 分類了一類3p(p為奇素數)階非交換群上的所有3度bi-Cayley圖,并證明3度點傳遞bi-Cayley圖一定同構于一個Cayley圖,同時給出了這類圖的全自同構群.
  • 圖 1  X2=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, {1, b2a, b})的導出子圖

    Figure 1.  The induced subgraph of X2=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, {1, b2a, b})

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出版歷程
  • 收稿日期:  2019-12-28
  • 錄用日期:  2020-03-27
  • 網絡出版日期:  2020-05-14
  • 刊出日期:  2020-07-01

3p階群的3度bi-Cayley圖

    通訊作者: 王麗, wanglimath@hpu.edu.cn
  • 河南理工大學 數學與信息科學學院,河南 焦作 454000

摘要: 稱一個圖是群H上的bi-Cayley圖,如果它有一個同構于H的半正則自同構群且作用在頂點集 上恰有2個軌道. 分類了一類3p(p為奇素數)階非交換群上的所有3度bi-Cayley圖,并證明3度點傳遞bi-Cayley圖一定同構于一個Cayley圖,同時給出了這類圖的全自同構群.

English Abstract

  • 本文所研究的圖均指有限、連通、簡單、無向圖. 對圖X,我們用V(X), E(X), Arc(X), Aut(X)分別表示圖的頂點集、邊集、弧集和全自同構群. 若Aut(X)分別在V(X), E(X), Arc(X)上傳遞,則稱X為點傳遞圖,邊傳遞圖,弧傳遞圖(或對稱圖). 如果Aut(X)在圖X上的作用是點傳遞,邊傳遞的,但非弧傳遞,則稱圖X是半弧傳遞圖. 此外,Gv表示點vV(X)的穩定子群,Ni(v)表示與頂點v距離為i的點的集合,稱為點vi步鄰域. 特別地,N(v)表示點v的鄰點的集合. 定義群G關于子集S(不含單位元)的Cayley圖記為X=Cay(G, S),其點集為G,邊集為{{g, sg}|gG, sS}. 易知Cayley圖是點傳遞圖[1]. Bi-Cayley圖是研究對稱圖以及半對稱圖的一個重要工具,其定義為: 設X=BiCay(H, R, L, S)是群H上關于集合R, LS的bi-Cayley圖,其點集為H0H1; 邊集為{{h0, g0}|gh?1R}∪{{h1, g1}|gh?1L}∪{{h0, g1}|gh?1S},其中Hi = {hi|hH}, i = 0, 1; R, LSH的子集,滿足R?1=R, L?1=LRL中不包含H的單位元. 若|R|=|L|= s,則稱BiCay(H, R, L, S)是s-型bi-Cayley圖. 若|S|=1,則稱BiCay(H, R, L, S)是1-匹配bi-Cayley圖. 若群H在圖X點集上的右正則表示R(H)在Aut(X)中正規,稱圖X是正規bi-Cayley圖. 現今關于bi-Cayley圖已有許多結果,如bi-Cayley圖的譜[2],連通性[3], BCI性[4]等. 此外,對某些特定群上的bi-Cayley圖的分類得到了很多學者的關注,如Maru?i?研究了循環群上的3度邊傳遞bi-Cayley圖[5];Boben和Pisanski對循環群上的3度2-型bi-Cayley圖進行了分類[6];Zhou等刻畫了交換群上3度bi-Cayley圖[7]. 之后,Koike等對交換群上的弧傳遞bi-Cayley圖及其BCI性給出了一些結果[8]. 基于此,本文對一類3p(p為奇素數)階非交換群上的3度bi-Cayley圖進行了分類,并給出此類圖的自同構群. 本文若未有定義而引用的概念和記號可參看文獻[9].

    • X = BiCay(H, R, L, S)是群H關于其子集R, L, S的bi-Cayley圖,記A = Aut(X). 則有如下引理:

      引理 1[7] (1) 圖X是連通的充分必要條件是HRLS生成;

      (2) 在圖同構意義下,S可包含群H的單位元1;

      (3) BiCay$(H,R,L,S) \cong $BiCay(H, R, L, S?1);

      (4) 對任意 $\alpha $∈Aut(H), BiCay$(H,R,L,S) \cong $BiCay(H, $R^\alpha $, $L^\alpha $, $S^\alpha $).

      由文獻[10],對任意hH, i=0,1, gH, R(g):${h_i} \mapsto $(hg)i是點集V(X)上的置換且R(H)={R(g)|gH}$ \leqslant $Aut(X). 對 $\alpha $∈Aut(H), x, y, gH,給出點集V(X)上2個置換:

        ${\delta _{\alpha ,x,y}}$: $ {h_0}\mapsto $(${xh}^\alpha $)1, ${h_1} \mapsto $(${yh}^\alpha $)0, $\forall h $H,     ${\sigma _{\alpha ,g}}$: ${h_0} \mapsto$($h^\alpha $)0, ${h_1} \mapsto $(${gh}^\alpha $)0, $\forall h$H,

      且有

        I={${\delta _{\alpha ,x,y}}$|$\alpha $∈Aut(H) 使得 $R^\alpha $ = x?1Lx, $L^\alpha $ = y?1Ry, $S^\alpha $ = y?1S?1x},

        F={${\sigma _{\alpha ,g}}$|$\alpha $∈Aut(H) 使得 $R^\alpha $ = R, $L^\alpha $ = g?1Lg, $S^\alpha $ = g?1S}$ \leqslant $Aut(X).

      引理 2[10]  設X =BiCay(H, R, L, S)是群H上的bi-Cayley圖. 若I$ \ne \emptyset $,則對任意 ${\delta _{\alpha ,x,y}}$∈I有:

      (1) $\langle $R(H),${\delta _{\alpha ,x,y}}$$\rangle $V(X)上傳遞;

      (2) 若 $o(\alpha )$ = 2且x =y = 1,則X$ \cong $Cay($\bar H,$R$\alpha S$),其中 $\bar H$=$H:\langle \alpha \rangle $.

      引理 3[11] 設群H=$\langle $a, b|ap=b3=1, b?1ab=ar, r3$ \equiv $1(mod p)且r$\not \equiv $1(mod p)$\rangle $, 其中p為奇素數且3|p?1. 則Aut(H)={$\alpha $|$a^\alpha $=ai, $b^\alpha $=bat},其中 i=1, 2,$\cdots, $ p?1; t =0,1, 2,$\cdots, $ p?1.

    • 為敘述簡便,記H=$\langle $a, b|ap=b3=1, b?1ab=ar, r3$ \equiv $1(mod p)且r$\not \equiv $1(mod p)$\rangle $,其中p為奇素數且3|p?1.

      定理 1 設 ${\Gamma _1}$=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, {1, a, bs}), ${\Gamma _2}$=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, {1, bsa, bs})是群H上的3度0-型bi-Cayley圖,其中s=1, 2. 則 ${\Gamma _1} \cong {\Gamma _2}$.

      證明 對任意vV($\Gamma $),用vmn表示V(${{\rm{\Gamma}}_n}$)中的點,其中m = 0, 1; n = 1, 2. 設

        $\phi $: (aibj)01$ \mapsto $($a^{ - i{r^{ - s}}}$bj)12, (aibj)11$ \mapsto $(a?ibj?s)02

      是點集V(${\Gamma _1}$)到點集V(${\Gamma _2}$)的映射,易知 $\phi $ 是點集V(${\Gamma _1}$)到點集V(${\Gamma _2}$)上的雙射. 下證 $\phi $ 保持邊的鄰接關系.

        $N((a^ib^j)_{01})^\phi $={(aibj)11, (ai+1bj)11, ($a^{i{r^{ - s}}}$$b^{j+s})_{11}\}^\phi $=          {(a?ibj?s)02, (a?(i+1)bj?s)02, ($a^{ - i{r^{ - s}}}$bj)02}=N(($a^{ - i{r^{ - s}}}$bj)12),

        $N((a^ib^j)_{11})^\phi $={(aibj)01, (ai?1bj)01, ($a^{i{r^s}}$$b^{j-s})_{01}\}^\phi $=          {($a^{ - i{r^{ - s}}}$bj)12, ($a^{ - (i - 1){r^{ - s}}}$bj)12,(a?ibj?s)12}=N((a?ibj?s)02).

      所以 $\phi $V(${\Gamma _1}$)到V(${\Gamma _2}$)的同構,因而 ${\Gamma _1} \cong {\Gamma _2}$. 證畢.

      定理 2 設 ${\Gamma _3}$=BiCay(H,{ba, (ba)?1}, {b, b?1},{1}),${\Gamma _4}$=BiCay(H,{b2a, (b2a)?1}, {b, b?1}, {1})是群H上的3度2-型bi-Cayley圖. 則 ${\Gamma _3} \cong {\Gamma _4}$.

      證明 設 $\phi $: $(b^j a^i)_ l \mapsto (b^j a^{-ir})_ l$是圖 ${\Gamma _3}$ 到圖 ${\Gamma _4}$ 點集上的映射,其中l=0, 1. 易知 $\phi $ 是雙射. 下證 $\phi $ 保持邊的鄰接關系.

        $N((b^ja^i)_{0})^\phi $={(bjai)1,(babjai)1,(a?1b?1bjai)0$\}^\phi $=         {(bja?ir)1, (bj?1$a^{{r^j} - ir}$)0, (bj+1$a^{ - {r^{j + 1}} - ir}$)0}=N((bja?ir)0),

        N((bjai)1$)^\phi $ ={(bjai)0, (bj+1ai)1, (bj?1ai)1$\}^\phi $=         {(bja?ir)0, (bj+1a?ir)1, (bj?1a?ir)1}=N((bja?ir)1).

      故可知 $\phi $ 是圖 ${\Gamma _3}$${\Gamma _4}$ 的點集上同構映射,即 ${\Gamma _3} \cong {\Gamma _4}$. 證畢.

      定理 3 設群H=$\langle $a, b|ap=b3=1, b?1ab=ar, r3$ \equiv $1(mod p)且r$\not \equiv $1(mod p)$\rangle $,其中p為奇素數且3|p?1. R, L, SH的不含單位元的子集,則群H的3度bi-Cayley圖X=BiCay(H, R, L, S)是如下情形之一:

      (1)X1=BiCay(H, $\emptyset $, $\emptyset $, S1), 其中S1={1, ba, b};

      (2)X2=BiCay(H, $\emptyset $, $\emptyset $, S2), 其中S2={1, b2a, b};

      (3)X3=BiCay(H, R1, L1, S),其中R1={a, a?1}, L1={b, b?1}, S={1};

      (4)X4=BiCay(H, R2, L2, S),其中R2={ba, (ba)?1}, L2={b, b?1}, S={1}.

      證明 因為o(a)=p, p為奇素數,所以對任意1≤i, kp?1,有 $\langle $ai$\rangle $=$\langle $ak$\rangle $. 易知群H的生成元有如下4種情況: {bjak, bsat},其中j$ \ne $sk$ \ne $t;{ ai, bj}, {ai, bjak}, {bjai, bs},其中1≤i, t, kp?1, 1≤j, s≤2.

      $\alpha $: a$ \mapsto $a, b$ \mapsto $ba, $\;\beta $: a$ \mapsto $ai, b$ \mapsto $b. 由引理3知,$\alpha $,$\;\beta $∈Aut(H),則有

         $\langle $a, bj${\rangle ^{\beta \alpha}}$=$\langle $ai, bj${\rangle ^\alpha}$=$\langle $ai, bjak$\rangle $,

         $\langle $bja, bs${\rangle ^{\beta \alpha}}$=$\langle $bjai, bs${\rangle ^\alpha}$=$\langle $bj${a^{\dfrac{{{r^j} - 1}}{{r - 1}} + i}}$, bs${a^{\dfrac{{{r^s} - 1}}{{r - 1}}}}$$\rangle $ =$\langle $bjak, bsat$\rangle $.

      根據bi-Cayley圖定義,引理1及定理1, 2知, R, L, S只有上述4種情形. 證畢.

      定理 4 設X1=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, S1)是群H上的連通3度bi-Cayley圖. 則|${A_{{1_0}}}$|=2.

      證明 由軌道定理知,|${A_{{1_0}}}$|=|${A_{{1_0},{1_1},{b_1}}}$||$b_1^{{A_{{1_0},{1_1}}}}$||$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|. 下面分3步證明|${A_{{1_0}}}$|=2.

      步驟1:考慮|${A_{{1_0},{1_1},{b_1}}}$|.

      易知 ${A_{{1_0},{1_1},{b_1}}}$ 固定點10,11, b1N(10)={11, b1, (ba)1},則點(ba)1也被固定,即N(10)中的點都被 ${A_{{1_0},{1_1},{b_1}}}$ 固定. 于是N(11)\{10}={(a?1b?1)0, (b2)0}, N(b1)\{10}={(a?1)0, b0}, N((ba)1)\{10}={(ba)0, a0}.

      經計算:

        C1=[10, b1, b0, (b2)1, (b2)0, 11, 10],

        C2=[10, (ba)1, (ba)0, (a?1b?1)1, (a?1b?1)0, 11, 10]

      是圖X1的2個6-圈,且過點10, b1有且僅有1個6-圈C1,過點10, (ba)1有且僅有1個6-圈C2,易知點(a?1b?1)0, (b2)0, b0, (ba)0被固定,進一步有點(a?1)0, a0被固定,即N2(10)被固定. 由圖的連通性可知 ${A_{{1_0},{1_1},{b_1}}}$ 固定圖X1的所有點,即|${A_{{1_0},{1_1},{b_1}}}$|=1.

      步驟2:考慮|b1$^{{A_{{1_0},{1_1}}}}$|.

      易知點10, 11被固定. 設 $\alpha $: a$ \mapsto $a?1, b$ \mapsto $ba,易知 $\alpha $∈Aut(H), o($\alpha $)=2,進而有o(${\sigma _{\alpha ,1}}$)=2. 下證 ${\sigma _{\alpha ,1}}$∈F. 由定義有$S^\alpha $ = {1, ba, b} = S. 故 ${\sigma _{\alpha ,1}}$∈F且$1_0^{{\sigma _{\alpha ,1}}}$=10, $1_1^{{\sigma _{\alpha ,1}}}$=11, $b_1^{{\sigma _{\alpha ,1}}}$=(ba)1,故|$b_1^{{A_{{1_0},{1_1}}}}$|=2.

      步驟3:考慮|$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|.

      由步驟1知過點10, b1有且僅有1個6-圈C1,過點10, (ba)1有且僅有1個6-圈C2,過點10, 11有2個6-圈C1, C2,故點11被固定,即|$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|=1.

      由步驟1~3知|${A_{{1_0}}}$|=2, o(${\sigma _{\alpha ,1}}$)=2且${1^{{\sigma _{\alpha ,1}}}_0}$=10,則 ${A_{{1_0}}}$=$\langle $${\sigma _{\alpha ,1}}$$\rangle $. 證畢.

      定理 5 圖X1=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, S1)是非弧傳遞的.

      證明 若圖X1是弧傳遞圖,則 ${A_{{1_0}}}$ 傳遞作用在N(10)上,從而3$\left|{{\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\kern 1pt} {\rm{|}}} \right.{A_{{{\rm{1}}_{\rm{0}}}}}{\rm{|}}$. 由定理4知,|${A_{{1_0}}}$|=2,矛盾. 即得圖X1是非弧傳遞的. 證畢.

      定理 6 設X2=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, S2)是H上的3度0-型bi-Cayley圖. 則:

      (1) X2$ \cong $Cayley($\bar H$, {$\;\beta $,$\;\beta {b^2}a$,$\;\beta b$}),其中 $\bar H$=$\langle $a, b,$\;\beta $|ap = b3 =${\;\beta ^2}$ = 1, b?1ab = ar, $a^{\;\beta} $ = a?1, $b^{\;\beta }$ = ba?r$\rangle $;

      (2) Aut(X2) =$\langle $R(H), ${\delta _{\;\beta ,1,1}}$$\rangle $Z3,其中 ${\delta _{\beta ,1,1}}$∈I. 特別地,X2是弧正則的.

      證明 (1)設 $\;\beta $: $ a\mapsto $a?1, $b \mapsto $ba?r,由引理3可得 $\;\beta $∈Aut(H), $a^{{\;\beta ^2}}$ = ${(a^{-1})}^\beta$ = a, $b^{{\;\beta ^2}}$ = $({ba^{-r}})^{\;\beta} $ = ba?rar = b. 故o($\;\beta $) = 2,進而有o(${\delta _{\;\beta ,1,1}}$)=2.

      下證 ${\delta _{\;\beta ,1,1}}$∈I. 由定義有$S^{\;\beta} $ = {1, b2a, b$\}^\beta $ = {1, ba-r, b2}=S ?1. 故 ${\delta _{{\;\beta} ,1,1}}$∈I. 由引理2(1)可知 $\langle $R(H),${\delta _{\;\beta ,1,1}}$$\rangle $ 在點集V(X)上傳遞且X2同構于Cay($\bar H$,{$\;\beta $,$\;\beta {b^2}a$,$\;\beta b$}),其中 $\bar H$=$\langle $a, b,$\;\beta $|ap = b3 = 1, b?1ab = ar, $a^{\;\beta} $ = a?1, $b^{\;\beta} $ = ba?r$\rangle $.

      (2)由軌道定理知,|A|=|${A_{{1_0}}}$||${1^A_0}$|. 由(1)知,圖X2是點傳遞圖,故|$1_0^A$|=6p. 現只需考慮|${A_{{1_0}}}$|的值.

      首先證明 ${A_{{1_0}}}$N(10)上的作用是忠實的. 設K${A_{{1_0}}}$ 作用在N(10)上的核,則K固定點10, 11, (b2a)1, b1,由圖1可知過點10, 11, (b2a)1有且僅有1個6-圈C1=[10, 11, (a?1b)0, (a?1b)1, (b2a)0, (b2a)1, 10]; 過點10, 11, b1有且僅有1個6-圈C2=[10, 11, (b2)0, (b2)1, b0, b1, 10]; 過點10, (b2a)1, b1有且僅有1個6-圈C3=[10, b1, (a?1b2)0, ($a^{{\rm{ -}}{r^2}}$)1, (ba)0, (b2a)1, 10]; 故K固定N2(10)中的點. 再由圖1的連通性及點傳遞性知,K固定圖1中所有的點,即K=1. 故 ${A_{{1_0}}}$N(10)上的作用是忠實的. 進一步有 ${A_{{1_0}}}$$ \leqslant $ S3. 下證 ${A_{{1_0}}}$ 傳遞作用在N(10)上且 ${A_{{1_0}}} \cong $$ {Z_3}$. 設 $\alpha $: a$ \mapsto $ar, b$ \mapsto $ba?r,易知 $\alpha $∈Aut(H), o($\alpha $)=3. 進而有o(${\sigma _{\alpha ,({b^2}a)}}$)=3. 根據定義有$S^\alpha $ = {1, b2$a^{ - {r^2}}$, ba?r}=(b2a)?1 S. 因此,${\sigma _{\alpha ,({b^2}a)}}$∈F且固定點10并在N(10)上傳遞,故 ${A_{{1_0}}} \cong {S_3}$${A_{{1_0}}} \cong {Z_3}$.

      圖  1  X2=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, {1, b2a, b})的導出子圖

      Figure 1.  The induced subgraph of X2=BiCay(H,$\emptyset $,$\emptyset $, {1, b2a, b})

      經計算知過點 ${({a^{k{r^2}}})_0},$${(b{a^{k{r^2}}})_1},$${({b^2}{a^{1 + k{r^2}}})_1}$ 有且僅有1個6-圈

        [${({a^{k{r^2}}})_0},$${(b{a^{k{r^2}}})_1},$${({b^2}{a^{(k - 1){r^2}}})_0}$, ${({a^{(k - 1){r^2}}})_1}$,${(b{a^{1 + k{r^2}}})_1},$${({b^2}{a^{1 + k{r^2}}})_1},$${({a^{k{r^2}}})_0}$],

      過點 ${({a^{k{r^2}}})_1},$${({b^2}{a^{k{r^2}}})_0},$${(b{a^{ - r + k{r^2}}})_0}$ 有且僅有1個6-圈

        [${({a^{k{r^2}}})_1},$${({b^2}{a^{k{r^2}}})_0},$${(b{a^{(k + 1){r^2}}})_1},$${({a^{(k + 1){r^2}}})_0},$${({b^2}{a^{ - r + k{r^2}}})_1},$${(b{a^{ - r + k{r^2}}})_0}$,${({a^{k{r^2}}})_1}$],

      其中k=1, 2,$\cdots, $ p?1. 若 ${A_{{1_0}}} \cong {S_3}$,則存在2階元 $\sigma $${S_3}$ 使得$1_1^\sigma $=11, $b_1^\sigma $=(b2a)1. 因為(a?1b2)0, (ba)0在同一個6-圈,故$b_1^\sigma $=(b2a)1,進一步有 $N(b_0)^\sigma $={b1, (b2)1, (ar)1$\}^\sigma $={(b2a)1, a1, (ar)1}= N((b2a)0). 由圖1可知,在6-圈[10, b1, (ba)0, ${({a^{ - {r^2}}})_1}$, (a?1b2)0, (b2a)1, 10]和[11, (b2)0, (b$a^{{r^2}}$)1, ($a^{{r^2}}$)0, (b2a?r)1, (a?1b)0, 11]中點($a^{ - {r^2}}$)1, ($a^{{r^2}}$)0固定,易知點($a^{k{r^2}}$)0, ($a^{k{r^2}}$)1固定. 故$N(b_0)^\sigma \ne $N((b2a)0),矛盾. 因此,${A_{{1_0}}} \cong {Z_3}$.

      綜上可得,Aut(X2) =$\langle $R(H),${\delta _{\beta ,1,1}}$$\rangle $Z3 且圖X2是邊傳遞的. 因為不存在奇數度的半弧傳遞圖,結合(1)及弧傳遞圖的定義可知圖X2是弧正則的. 證畢.

      定理 7 圖X3=BiCay(H, R1, L1, S)是非點傳遞的.

      證明 由計算可知,N(10)={11, a0, (a?1)0}. 過點11有3-圈,即[11, b0, (b2)1, 11],過點a0, (a?1)0無3-圈. 若存在 $\sigma $∈Aut(X3)使得$1_1^\sigma $=a0或(a?1)0,則過點11的3-圈也在 $\sigma $ 的作用下變到過點a0, (a?1)0的3-圈,矛盾. 故圖X3不是點傳遞的. 證畢.

      定理 8 設X4=BiCay(H, R2, L2, S)是H上的3度1匹配bi-Cayley圖. 則 X4$ \cong $Cay($\bar H$, {ba, (ba)?1,$\;\beta $}),其中 $\bar H$=$\langle $a, b,$\;\beta $|ap = b3 =${\;\beta ^2}$ = 1, b?1ab = ar, $a^{\;\beta} $ = a?1, $b^{\;\beta} $ = ba$\rangle $. 進一步的,有:

      (1)當p>7時,Aut(X4) =$\langle $R(H), ${\delta _{\beta ,1,1}}$$\rangle $,其中 ${\delta _{\beta ,1,1}}$∈I;

      (2)當p=7時,Aut(X4) =$\langle $R(H), ${\delta _{\beta ,1,1}}$$\rangle $${Z_2} \times {Z_4}$.

      證明 設 $\;\beta $: $a \mapsto $a?1, $b \mapsto $ba,由文獻[11]可得 $\;\beta $∈Aut(H), $a^{{\;\beta ^2}}$=$(a^{-1})^{\;\beta} $=a, $b^{{\;\beta ^2}}$=$(ba)^\beta $=baa?1=b,故o($\;\beta $) = 2. 進而有o(${\delta _{\;\beta ,1,1}}$)=2. 下證 ${\delta _{\;\beta ,1,1}}$∈I. 由定義有$R_2^{\;\beta} $={ba, (ba)?1$\}^{\;\beta} $={b?1, b}=L2,$L_2^\beta$={b, b?1$\}^{\;\beta} $= {ba, (ba)?1}=R2,$S^{\;\beta} $={1}=S ?1. 故 ${\delta _{\;\beta ,1,1}}$∈I. 由引理2(1)可知 $\langle $R(H),${\delta _{\;\beta ,1,1}}$$\rangle $ 在點集V(X)上傳遞且X2同構于Cay($\bar H$,{ba, (ba)?1,$\;\beta $}),其中 $\bar H$=$\langle $a, b, $\;\beta $|ap=b3 =${\;\beta ^2}$=1, b?1ab=ar, $a^{\;\beta} $=a?1, $b^{\;\beta} $=ba$\rangle $.

      (1)由軌道定理知,|A|=|${A_{{1_0}}}$||${1^A_0}$|. 由(1)知,圖X2是點傳遞圖且|V(X4)|=2pq,故|${1^A_0}$|=2pq. 現只考慮|${A_{{1_0}}}$|的值即可. 易知|${A_{{1_0}}}$|=|${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$||$(ba)_0^{{A_{{1_0},{1_1}}}}$||$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|.

      步驟1: 考慮|${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$|.

      易知 ${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$ 固定點10, 11, (ba)0且點10, (ba)0, ((ba)?1)0是1個3-圈,則點((ba)?1)0也被固定,即N(10)中的點都被固定. 下面討論 ${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$N2(10)={b1, (b2)1, ((ba)2)1, (ba)1, ((ba)?2)1, ((ba)?1)1}上的作用. 因為圖X4為3度圖且點(ba)0, ((ba)?1)0固定,故點(ba)1, ((ba)?1)1固定. 當p>7時,過點10, 11, (ba)0有且僅有1個12-圈

        C1=[10, 11, (b2)1, (b2)0, (ba?r)0, (ba?r)1, (a?r)1, (a?r)0, (b2a)0, (b2a)1, (ba)1, (ba)0, 10];

      過點10, 11, ((ba)?1)0有且僅有1個12-圈

        C2=[10, 11, b1, b0, (b2ar)0, (b2ar)1, (ar)1, (ar)0, (bar+1)0, (bar+1)1, ((ba)?1)1, ((ba)?1)0, 10].

      則圈C1, C2中的點都被固定,故N2(10)中的點都被固定. 由(1)和圖的連通性知,圖X2中的所有點都被 ${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$ 固定,即|${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$|=1.

      步驟2:考慮|${(ba)_0}^{{A_{{1_0},{1_1}}}}$|.

      假設存在 $\sigma $${A_{{1_0},{1_1}}}$ 使得$(ba)_0^\sigma $=((ba)?1)0,則

        $(ba)_1^\sigma $=((ba)?1)1, N((ba)1\{(ba)0}$)^\sigma $={a1, (b2a)1$\}^\sigma $=

           {(ar+1)1, (bar+1)1} =N(((ba)?1)1\{((ba)?1)0}.

      因為 ${A_{{1_0},{1_1}}}$ 固定點10, 11,故$b_1^\sigma $=(b2)1$b_1^\sigma $=b1. 經計算可知,當p>7時,過點11, b1, (b2)1有且僅有1個14-圈

        C3=[11, b1, b0, (a?1)0, (a?1)1, (b2a?1)1, (b2a?1)0, ${({a^{{r^2} - 1}})_0},$${(b{a^{{r^2}}})_0},$${(b{a^{{r^2}}})_1}$,${({a^{{r^2}}})_1}$, ${({a^{{r^2}}})_0}$, (b2)0, (b2)1, 11],

      因此點 ${({a^{{r^2} - 1}})_0}$ 固定,進一步有 ${({a^{{r^2} - 1}})_1}$ 固定. 過點(ai)0, (bai+1)0, ((ba)?1ai)0有且僅有1個14-圈

        Ci0=[(ai)0, (bai+1)0, (bai+1)1, (ai+1)1, (ai+1)0,${({b^2}{a^{1 \!+\! i - {r^2}}})_0},$${({b^2}{a^{1 \!+\! i - {r^2}}})_1},$ ${({a^{1 \!+\! i - {r^2}}})_1},$      ${(b{a^{1 \!+\! i - {r^2}}})_1},$${(b{a^{1 + i - {r^2}}})_0},$${({a^{i - {r^2}}})_1},$${({a^{i - {r^2}}})_0},$${({b^2}{a^{i - {r^2}}})_1},$${({b^2}{a^{i - {r^2}}})_0},$(ai)0];

      過點(ai)1, (bai)1, (b?1ai)1有且僅有一個14-圈

        Ci1=[(ai)1, (bai)1, (bai)0, (ai?1)0, (ai?1)1, (b2ai?1)1, (b2ai?1)0,${({a^{{r^2} + i - 1}})_0},$ ${(b{a^{i + {r^2}}})_0},$      ${(b{a^{i + {r^2}}})_1},$ ${({a^{i + {r^2}}})_1},$ ${({a^{i + {r^2}}})_0},$ (b2ai)0, (b2ai)1, (ai)1].

      因此(ai)0, (ai)1固定. 故N((ba)1\{(ba)0}$)^\sigma \ne $N(((ba)?1)1\ {((ba)?1)0},與假設矛盾.

      步驟3:考慮|$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|.

      過點10, (ba)0, ((ba)?1)0有3-圈[11, (ba)0, ((ba)?1)0, 11],過點10, 11無3-圈,故點11固定,即|$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|=1.

      由步驟1~3可知,|${A_{{1_0}}}$|=|${A_{{1_0},{1_1},{{(ba)}_0}}}$||$(ba)_0^{{A_{{1_0},{1_1}}}}$||$1_1^{{A_{{1_0}}}}$|=1. 再由(1)知 $\langle $R(H),${\delta _{\beta ,1,1}}$$\rangle $ 在點集V(X)上傳遞,得Aut(X4) =$\langle $R(H), ${\delta _{\beta ,1,1}}$$\rangle $.

      (2)當p=7時,由文獻[12]可得 |Aut(X4)|=336且Aut(X4) =$\langle $R(H), ${\delta _{\beta ,1,1}}$$\rangle $Z2$ \times $Z4. 證畢.

      綜合定理1-8, 可以得到以下主要定理9.

      定理 9 設X = BiCay(H, R, L, S)是群H的3度bi-Cayley傳遞圖,其中H是3p階的非交換群,則有如下結論:

      (1)若X = BiCay(H,$\emptyset $, $\emptyset $, {1, b2a, b}),則X同構于一個Cayley圖. 特別地,圖X是弧正則圖.

      (2)若X = BiCay(H, {ba, (ba)?1}, {b, b?1}, {1}),則X同構于一個Cayley圖.

參考文獻 (11)

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