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分數階和整數階自由振動單擺模型的解及其動力學性質

王文瑩 芮偉國

引用本文:
Citation:

分數階和整數階自由振動單擺模型的解及其動力學性質

    作者簡介: 王文瑩(1996?),女,重慶人,碩士生,主要從事分數階微分方程方面的研究. E-mail:wangwenying9683@163.com;
    通訊作者: 芮偉國, weiguorhhu@aliyun.com
  • 中圖分類號: O 175.08

The solutions and dynamic properties of fractional and integer-order pendulum model of free vibration

    Corresponding author: RUI Wei-guo, weiguorhhu@aliyun.com
  • CLC number: O 175.08

  • 摘要: 自由振動下的分數階單擺模型是經典的整數階單擺模型的一種推廣,它在研究具有黏性特征下復雜介質中的振動問題方面有很好的應用. 采用Laplace變換法和動力系統相圖分析法,分別對分數階線性單擺模型和整數階非線性單擺模型的解及其動力學性質進行了系統研究,特別是在分數階模型方面的研究,獲得了一系列Mittag-Leffler函數形式的精確解,并進一步對二者之間解的動力學性質進行比較,最終給出了相關結論,這些研究成果對于在復雜介質中的振動問題方面的類似研究工作具有一定的參考價值.
  • 圖 1  分數階自由振動的單擺模型:解(13)和解(15)的動力學演化坐標圖

    Figure 1.  Pendulum model of fractional free vibration: Graphs of dynamic evolution of solutions (13) and (15)

    圖 2  分數階自由振動的單擺模型:解(21)和解(22)的動力學演化坐標圖

    Figure 2.  Pendulum model of fractional free vibration: Graphs of dynamic evolution of solutions (21) and (22)

    圖 3  整數階自由振動的非線性單擺模型的相圖和波形圖

    Figure 3.  Phase portraits and wave-form graph of nonlinear pendulum model of integer-order free vibration

    圖 4  不同初值條件下有阻尼的單擺模型的相圖

    Figure 4.  Phase portrait of a pendulum model with damping under different initial conditions

    圖 5  不同初值條件下有阻尼的單擺模型的波形圖

    Figure 5.  The waveform graphs of the pendulum model with damping under different initial conditions

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圖(5)
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出版歷程
  • 收稿日期:  2020-01-16
  • 錄用日期:  2020-03-27
  • 網絡出版日期:  2020-05-14
  • 刊出日期:  2020-09-22

分數階和整數階自由振動單擺模型的解及其動力學性質

    作者簡介:王文瑩(1996?),女,重慶人,碩士生,主要從事分數階微分方程方面的研究. E-mail:wangwenying9683@163.com
    通訊作者: 芮偉國, weiguorhhu@aliyun.com
  • 重慶師范大學 數學科學學院,重慶 401331

摘要: 自由振動下的分數階單擺模型是經典的整數階單擺模型的一種推廣,它在研究具有黏性特征下復雜介質中的振動問題方面有很好的應用. 采用Laplace變換法和動力系統相圖分析法,分別對分數階線性單擺模型和整數階非線性單擺模型的解及其動力學性質進行了系統研究,特別是在分數階模型方面的研究,獲得了一系列Mittag-Leffler函數形式的精確解,并進一步對二者之間解的動力學性質進行比較,最終給出了相關結論,這些研究成果對于在復雜介質中的振動問題方面的類似研究工作具有一定的參考價值.

English Abstract

  • 近幾十年來,分數階偏微分方程的精確求解及其解法研究,一直是力學、工程技術學、物理學、生命科學和應用數學等領域的工作者致力于研究的最為活躍的前沿課題之一. 由分數階微分方程建立的數學模型具有自身的獨特優點,這些優點是整數階微分模型不可替代的,而此類分數階模型往往在信號處理領域[1-3]、系統控制領域[4-5]、物質反常擴散和熱傳導領域[6-9]乃至黏彈性流體力學[10-13]、生物學[14-16]、磁力學[17-19]以及其它眾多學科領域有著廣泛的應用, 特別是具有記憶性、反常擴散現象和黏彈性的自然現象均可以用分數階微分方程建模,分數階微分模型在眾多科學領域中有很好的應用. 然而,相比于整數階微分方程的精確求解而言,在求分數階微分方程的精確解時往往比較困難,所以正如文獻[20,21]中所提及的那樣,目前大多數工作主要集中在解和正解的存在性研究. 與這類研究工作不同的是, 本文的研究將立足于對分數階微分方程精確求解以及動力學性質方面的探索與研究.

    像文獻[22]那樣,本文將利用Laplace變換和Mittag-Leffler函數相結合的方法研究相關模型. 首先研究下列2個分數階線性單擺模型方程的精確解及其動力學性質:

    $\qquad {\nu _\alpha }\frac{{{{\rm{d}}^{2\alpha }}\phi }}{{{\rm{d}}{t^{2\alpha }}}} + \frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\phi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} + \frac{g}{l}\phi = 0,$

    $\qquad {\nu _\alpha }\frac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}\left( {\frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\phi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}} \right) + \frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\frac{{{{\rm{d}}^\alpha }\phi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} + \frac{g}{l}\phi = 0,$

    其中 $\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}$ 為Caputo型分數階微分算子,$\alpha $ 為分數階導數的階數且 $0 < \alpha < 1,$ $\phi $ 表示擺角,$t$ 表示時間,$m$ 表示擺球質量,$l$ 表示擺線長度,$g$ 表示重力加速度,$\mu $ 表示擺線的摩擦系數,${\nu _\alpha } =\dfrac{\rho }{{{\sigma _\alpha }}},\;\;{\sigma _\alpha }$ 表示液體的黏滯系數,$\;\rho $ 為介質密度. 由于在分數階領域中 $\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}\left( {\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}} \right) \ne \dfrac{{{{\rm{d}}^{2\alpha }}}}{{{\rm{d}}{t^{2\alpha }}}},$ 因此,方程(1)和(2)可以看作是2個不同的方程,然而這2個方程都屬于單擺在具有黏性特征的復雜介質中的自由振動模型.

    其次,為了與以上2個分數階單擺模型方程的解及其動力學性質進行比較,我們將用動力系統相圖分析法研究以下經典的整數階非線性單擺模型方程

    $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^2}\phi }}{{{\rm{d}}{t^2}}} + \frac{\mu }{m}\frac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} + \frac{g}{l}\sin \phi = 0$

    的解及其動力學性質,最后對這些方程的結果進行比較研究,給出相應的研究報告. 事實上,方程(1)和(2)可以看作是經典模型方程(3)在具有黏性特征的復雜介質中的自然推廣,即在尺度變換 $\dfrac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}} \to $$ {\nu _\alpha } \cdot \dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}$$\;\dfrac{{{{\rm{d}}^2}}}{{{\rm{d}}{t^2}}} \to {\nu _\alpha } \cdot \dfrac{{{{\rm{d}}^{2\alpha }}}}{{{\rm{d}}{t^{2\alpha }}}}$ 以及近似替代 $\sin \phi \approx \phi $ 下,方程(3)就轉化成了方程(1). 同樣在尺度變換 $\dfrac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}t}} \to {\nu _\alpha } \cdot \dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}$$\dfrac{{{{\rm{d}}^{}}}}{{{\rm{d}}t}}\left( {\dfrac{{{{\rm{d}}^{}}}}{{{\rm{d}}t}}} \right) \to {\nu _\alpha } \cdot \dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}\left( {\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}} \right)$ 以及近似替代 $\sin \phi \approx \phi $ 下,方程(3)轉化成了方程(2). 當擺角 $\phi $ 很小時,在近似替代 $\sin \phi \approx \phi $ 下,方程(3)可以用下列線性模型方程來近似替代:

    $\qquad \frac{{{{\rm{d}}^2}\phi }}{{{\rm{d}}{t^2}}} + \frac{\mu }{m}\frac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} + \frac{g}{l}\phi = 0.$

    顯然,當 $\alpha \to 1$ 時,方程(1)和(2)均退化成整數階線性方程(4). 在非線性動力學理論未完善之前,人們是無法討論非線性模型方程(3)的解及其動力學性質的. 因此,在長達300多年的微積分歷史長河中,早期科學家們只研究了方程(3)的線性近似模型方程(4)的解及其動力學性質. 隨著非線性動力學理論的日趨完善,針對非線性經典模型方程(3)的研究工作越來越多,2006年,潘軍廷等在文獻[23]中研究了方程(3)的Jacobi橢圓函數解;2010年,鄧永菊等在文獻[24]中通過計算機仿真研究了方程(3)的運動規律;2017年,在文獻[25]中,陳大偉等研究了方程(3)的數值解;2018年,劉正成等在文獻[26]中通過數值模擬的方式研究了方程(3)的非線性特征. 在這些文獻中,大多數研究成果以數值計算和定性分析為主. 本文的工作主要集中在針對分數階方程(1)和(2)的精確求解研究以及與非線性模型方程(3)的解的動力學性質作比較研究. 因此,我們的工作將與這些文獻中的研究結果大為不同.

    • 下面我們討論方程(1)的初值問題:

      $\qquad \left\{ \begin{array}{l} {\nu _\alpha }\dfrac{{{{\rm{d}}^{2\alpha }}\phi }}{{{\rm{d}}{t^{2\alpha }}}} + \dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }\phi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} + \dfrac{g}{l}\phi = 0, \\ \phi (0) = {\theta _0},\quad \phi '(0) = 0, \\ \end{array} \right.$

      其中,${\theta _0}$ 為單擺的最大偏轉角. 將方程(5)兩邊做Laplace變換得:

      $\qquad {\nu _\alpha }\left[ {{s^{2\alpha }}\Phi (s) - {s^{2\alpha - 1}}\phi (0) - {s^{2\alpha - 2}}\phi '(0)} \right] + \frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\left[ {{s^\alpha }\Phi (s) - {s^{\alpha - 1}}\phi (0)} \right] + \frac{g}{l}\Phi (s) = 0. $

      由方程(6)和初值條件 $\phi (0) = {\theta _0},\quad \phi '(0) = 0$ 解得:

      $\qquad \Phi (s) = \dfrac{{{\theta _0}{s^{2\alpha - 1}}}}{{{s^{2\alpha }} + \dfrac{\mu }{m}{s^\alpha } + \dfrac{g}{{{\nu _\alpha }l}}}} + \dfrac{{{\theta _0}\dfrac{\mu }{m}{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^{2\alpha }} + \dfrac{\mu }{m}{s^\alpha } + \dfrac{g}{{{\nu _\alpha }l}}}}.$

      $\Delta = \dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}} - \dfrac{{4g}}{{{\nu _\alpha }l}} > 0$ 時,(7)式可化為:

      $\qquad \Phi (s) = \frac{{{\theta _0}}}{{{\eta _1}}}\left[ {\frac{{{s^{2\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _1}}} - \frac{{{s^{2\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _2}}}} \right] + \frac{{{\theta _0}\mu }}{{m{\eta _1}}}\left[ {\frac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _1}}} - \frac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _2}}}} \right]. $

      其中,${\eta _1} = \sqrt {\dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}} - \dfrac{{4g}}{{{\nu _\alpha }l}}} ,$ ${\delta _1} = - \dfrac{\mu }{{2m}} + \dfrac{1}{2}{\eta _1},$ ${\delta _2} = - \dfrac{\mu }{{2m}} - $$ \dfrac{1}{2}{\eta _1}.$${s^{2\alpha - 1}} = {s^{\alpha - (1 - \alpha )}}$,對(8)式施行Laplace逆變換,我們獲得方程(5)的一個特解:

      $\qquad \phi (t) = \frac{{{\theta _0}{t^{ - \alpha }}}}{{{\eta _1}}}\left[ {{E_{\alpha ,1 - \alpha }}({\delta _1}{t^\alpha }) - {E_{\alpha ,1 - \alpha }}({\delta _2}{t^\alpha })} \right] +\frac{{{\theta _0}\mu }}{{m{\eta _1}}}\left[ {{E_{\alpha ,1}}({\delta _1}{t^\alpha }) - {E_{\alpha ,1}}({\delta _2}{t^\alpha })} \right]. $

      (9)式中函數 ${E_{\alpha ,\beta }}(\lambda {t^\alpha }) = \displaystyle\sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{{{{(\lambda {t^\alpha })}^k}}}{{\Gamma (\alpha k + \beta )}}} $ 稱為雙參數Mittag-Leffler函數,是一個特殊的解析函數,以下情形相同,概不贅述.

      $\Delta = \dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}} - \dfrac{{4g}}{{{\nu _\alpha }l}} = 0$ 時,(7)式可化為:

      $\qquad\Phi (s) = {\theta _0}\left[ {\dfrac{{{s^{2\alpha - 1}}}}{{{{({s^\alpha } + \dfrac{\mu }{{2m}})}^2}}}} \right] + \dfrac{{{\theta _0}\mu }}{m}\left[ {\dfrac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{{({s^\alpha } + \dfrac{\mu }{{2m}})}^2}}}} \right].$

      對(10)式施行Laplace逆變換,我們得到方程(5)的一個特解:

      $\qquad\begin{split} \phi (t) =& {\theta _0}{E'_{\alpha ,1 - \alpha }}\left( { - \frac{\mu }{{2m}}{t^\alpha }} \right) + \frac{{{\theta _0}\mu }}{m}{t^\alpha }{E'_{\alpha ,1}}\left( { - \frac{\mu }{{2m}}{t^\alpha }} \right)=\\ &{\theta _0}\sum\limits_{j = 0}^\infty {{{\left( { - \frac{\mu }{{2m}}} \right)}^j}\frac{{\left( {j + 1} \right){t^{\alpha j}}}}{{\Gamma \left[ {\alpha \left( {j + 1} \right) + \left( {1 - \alpha } \right)} \right]}} + \frac{{{\theta _0}\mu }}{m}} \sum\limits_{j = 0}^\infty {{{\left( { - \frac{\mu }{{2m}}} \right)}^j}\frac{{\left( {j + 1} \right){t^{\alpha (j+1)}}}}{{\Gamma \left[ {\alpha \left( {j + 1} \right)} \right]}}}. \end{split} $

      $\Delta = \dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}} - \dfrac{{4g}}{{{\nu _\alpha }l}} < 0$ 時,(7)式可化為:

      $\qquad \Phi (s) = \frac{{{\theta _0}}}{{{\rm{i}}{\eta _2}}}\left[ {\frac{{{s^{2\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _3}}} - \frac{{{s^{2\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _4}}}} \right] + \frac{{{\theta _0}\mu }}{{{\rm{i}}m{\eta _2}}}\left[ {\frac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _3}}} - \frac{{{s^{\alpha - 1}}}}{{{s^\alpha } - {\delta _4}}}} \right], $

      其中 ${\eta _2} = \sqrt {\dfrac{{4g}}{{{\nu _\alpha }l}} - \dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}}} ,$${\delta _3} = - \dfrac{\mu }{{2m}} + \dfrac{{\rm{i}}}{2}{\eta _2},$${\delta _4} = - \dfrac{\mu }{{2m}} - $$ \dfrac{{\rm{i}}}{2}{\eta _2}.$ 對(12)式施行Laplace逆變換,我們得到方程(5)的一個復值解:

      $\qquad \phi (t) = \frac{{{\theta _0}{t^{ - \alpha }}}}{{{\rm{i}}{\eta _2}}}\left[ {{E_{\alpha ,1 - \alpha }}({\delta _3}{t^\alpha }) - {E_{\alpha ,1 - \alpha }}({\delta _4}{t^\alpha })} \right] + \frac{{{\theta _0}\mu }}{{{\rm{i}}m{\eta _2}}}\left[ {{E_{\alpha ,1}}({\delta _3}{t^\alpha }) - {E_{\alpha ,1}}({\delta _4}{t^\alpha })} \right], $

      根據線性方程解的基本理論,顯然解(13)的實部和虛部均為方程(5)的解,實部與虛部之和 $\operatorname{Re} [\phi (t)] + \operatorname{Im} [\phi (t)]$ 也是該方程的解.

      與整數階模型相類似,當 $\Delta \geqslant 0$ 時,模型為大阻尼情形,單擺都不會來回擺動. 即當 $\Delta > 0$ 時單擺不會擺過平衡點,當 $\Delta = 0$ 時,我們其稱為臨界情形,此時單擺只擺過平衡點一次,這在整數階模型里面也是這樣的,為此我們只討論 $\Delta < 0$ 時單擺在具有黏性特征的復雜介質中的擺動情況. 為了直觀地展示分數階單擺模型方程(5)在具有黏性特征的復雜介質中的運動規律,取固定參數值 ${\theta _0} =\dfrac{\text{π} }{3},\; \mu = 0.1,$ $\alpha = 0.9,\;m = 5,\;l = 10,$$g = 9.8,v = 10.5,$ 我們繪出解(13)的實部與虛部之和的坐標演化圖(圖1(a)). 從圖1(a)中,可以看出單擺在具有黏性的介質中自由振動時,其擺的振幅會隨著時間的增加而減小,最終會回到平衡位置.

      圖  1  分數階自由振動的單擺模型:解(13)和解(15)的動力學演化坐標圖

      Figure 1.  Pendulum model of fractional free vibration: Graphs of dynamic evolution of solutions (13) and (15)

      如果介質的參數值 ${\nu _\alpha }$ 足夠大,而擺線的摩擦系數足夠小,那么可以近似地認為 $\;\mu = 0,$ 這種情形被稱為無阻尼情形,此時(7)式可簡化成

      $\qquad\Phi (s) = {\theta _0}\dfrac{{{s^{2\alpha - 1}}}}{{{s^{2\alpha }} + \dfrac{g}{{{\nu _\alpha }l}}}}.$

      對(14)式施行Laplace逆變換,我們得到方程(5)的一個特解:

      $\qquad\phi (t) = {\theta _0}{E_{2\alpha ,1}}\left( { - \frac{g}{{{\nu _\alpha }l}}{t^{2\alpha }}} \right).$

      為了直觀展示單擺模型方程(5)在具有黏性特征的復雜介質中無阻尼時的運動規律,取固定參數值 ${\theta _0} = \dfrac{\text{π} }{3},\;\alpha = 0.9,\;m = 5,\;l = 2,$ $g = 9.8,v = 15,$ 我們繪出了解(15)的坐標演化圖形,(圖1(b)). 從圖1(b)中,可以看出單擺在具有黏性的介質中的自由振動情況,即便忽略擺線的摩擦系數,其擺幅仍然隨著時間的增加而減小,最終會回到平衡位置,這一點完全與整數階模型的運動規律截然不同. 這是因為復雜介質的黏性阻力起到了決定性的作用,擺線的摩擦力只起到次要作用,即便無阻尼,振幅也會衰減.

    • 下面我們討論方程(2)的初值問題:

      $\qquad\left\{ \begin{array}{l} {\nu _\alpha }\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }}}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}\left( {\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }\phi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}}} \right) + \dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\dfrac{{{{\rm{d}}^\alpha }\phi }}{{{\rm{d}}{t^\alpha }}} + \dfrac{g}{l}\phi = 0, \\ \phi (0) = {\theta _0},\quad \phi '(0) = 0, \end{array} \right.$

      其中,${\theta _0}$ 為單擺的最大偏轉角. 假設方程(16)具有下列形式的解:

      $\qquad\phi = {E_\alpha }\left( {\lambda {t^\alpha }} \right),$

      其中,$\lambda $ 為待定常數. 將(17)式代入方程(16)中,利用Mittag-Leffler函數的 $\alpha $ 階導數公式 $D_t^\alpha {E_\alpha }(\lambda {t^\alpha }) = $$ \lambda {E_\alpha }(\lambda {t^\alpha })$ 可得:

      $\qquad{\nu _\alpha }{\lambda ^2}{E_\alpha }(\lambda {t^\alpha }) + \frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\lambda {E_\alpha }(\lambda {t^\alpha }) + \frac{g}{l}{E_\alpha }(\lambda {t^\alpha }) = 0.$

      方程(18)約去Mittag-Leffler函數可得:

      $\qquad{\nu _\alpha }{\lambda ^2} + \frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}\lambda + \frac{g}{l} = 0.$

      方程(19)類似于整數階線性齊次微分方程的特征方程,當 $\Delta = {\left( {\dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)^2} - \dfrac{{4{\nu _\alpha }g}}{l} > 0$ 時,方程(19)有2個不等的實根 ${\lambda _{1,2}} = - \dfrac{\mu }{{2m}} \pm \dfrac{1}{{2{\nu _\alpha }}}\sqrt {{{\left( {\dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)}^2} - \dfrac{{4{\nu _\alpha }g}}{l}} $,此時方程(19)在初值條件下有下列形式的精確解:

      $\qquad\phi (t) = {\theta _0}{E_\alpha }\left[ {\left( { - \frac{\mu }{{2m}} + \frac{1}{{2{\nu _\alpha }}}\sqrt {{{\left( {\frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)}^2} - \frac{{4{\nu _\alpha }g}}{l}} } \right){t^\alpha }} \right].$

      $\Delta = {\left( {\dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)^2} - \dfrac{{4{\nu _\alpha }g}}{l} = 0$ 時,即 $\;\mu = \dfrac{{2m}}{{{\nu _\alpha }}}\sqrt {\dfrac{{{\nu _\alpha }g}}{l}} $ 時,方程(19)有2個相等的實根 $\lambda = - \sqrt {\dfrac{g}{{{\nu _\alpha }l}}} ,$ 此時方程(19)在初值條件下有下列形式的精確解:

      $\qquad\phi (t) = {\theta _0}{E_\alpha }\left( { - \sqrt {\frac{g}{{{\nu _\alpha }l}}} \;{t^\alpha }} \right).$

      $\Delta = {\left( {\dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)^2} - \dfrac{{4{\nu _\alpha }g}}{l} < 0$ 時,方程(19)有2個復根 ${\lambda _{1,2}} = - \dfrac{\mu }{{2m}} \pm \dfrac{{\rm{i}}}{{2{\nu _\alpha }}}\sqrt {\dfrac{{4{\nu _\alpha }g}}{l} - {{\left( {\dfrac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)}^2}} ,$ 此時方程(19)在初值條件下有下列形式的解:

      $\qquad\phi (t) = {\theta _0}{E_{\alpha ,1}}\left[ {\left( { - \frac{\mu }{{2m}} + \frac{{\rm{i}}}{{2{\nu _\alpha }}}\sqrt {\frac{{4{\nu _\alpha }g}}{l} - {{\left( {\frac{{\mu {\nu _\alpha }}}{m}} \right)}^2}} } \right){t^\alpha }} \right].$

      為了直觀地展示有阻尼單擺模型方程(16)的運動規律和動力學性質,我們以解(21)和(22)為例,分別繪出它們的坐標圖形. 取固定參數值 ${\theta _0} = \dfrac{\text{π}}{3}, $ $\;\alpha = 0.75,\;{\nu _\alpha } = 5,\;l = 10,\;g = 9.8,$ 我們繪出了解(21)的坐標演化圖形(圖2(a)). 類似地,如果取固定參數值 ${\theta _0} = \dfrac{\text{π}}{3},\;\mu = 0.3,\;\alpha = 0.75,\;{\nu _\alpha } = 5,\;m = 20,\;l = 10,\; $ $g = 9.8,$ 我們利用解(22)的實部與虛部的和繪出了坐標演化圖形(圖2(b)).

      圖  2  分數階自由振動的單擺模型:解(21)和解(22)的動力學演化坐標圖

      Figure 2.  Pendulum model of fractional free vibration: Graphs of dynamic evolution of solutions (21) and (22)

    • 下面我們討論方程(3)的初值問題:

      $\qquad\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{{\rm{d}}^2}\phi }}{{{\rm{d}}{t^2}}} + \dfrac{\mu }{m}\dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} + \dfrac{g}{l}\sin \phi = 0, \\ \phi (0) = {\theta _0},\quad \phi '(0) = 0, \\ \end{array} \right.$

      其中,${\theta _0}$ 為單擺的最大偏轉角. 令 $\dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} = y,$ 則方程(23)化為

      $\qquad\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} = y, \\ \dfrac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}} = - \dfrac{g}{l}\sin \phi - \dfrac{\mu }{m}y. \\ \end{array} \right.$

      若擺線的摩擦系數 $\;\mu = 0$,則方程(24)可約化為

      $\qquad\left\{ \begin{array}{l} \dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} = y, \\ \dfrac{{{\rm{d}}y}}{{{\rm{d}}t}} = - \dfrac{g}{l}\sin \phi . \\ \end{array} \right.$

      由此我們可以得到方程(25)的首次積分如下:

      $\qquad\frac{1}{2}{y^2} = \frac{g}{l}\cos \phi + h.$

      其中,$h$ 是一個積分常數. 為了便于下文討論,我們將方程(26)改寫為:

      $\qquad H(\phi ,y) \equiv \frac{1}{2}{y^2} - \frac{g}{l}\cos \phi = h.$

      $P(\phi ,y) = y$,$Q(\phi ,y) = - \dfrac{g}{l}\sin \phi .$ 為了方便討論,我們把方程(25)的雅克比矩陣和雅克比行列式寫成:

      $\qquad M(\phi ,y) = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{\partial P(\phi ,y)}}{{\partial \phi }}}&{\dfrac{{\partial P(\phi ,y)}}{{\partial y}}} \\ {\dfrac{{\partial Q(\phi ,y)}}{{\partial \phi }}}&{\dfrac{{\partial Q(\phi ,y)}}{{\partial y}}} \end{array}} \!\!\!\right] = \left[\!\!\! {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1 \\ { - \dfrac{g}{l}\cos \phi }&0 \end{array}}\!\!\! \right],$

      $\qquad J(\phi ,y) \equiv \det M(\phi ,y) = \frac{g}{l}\cos \phi .$

      由方程(25)和(27)可知,方程(25)是Hamilton系統. 方程(25)有無窮多個平衡點,在這里我們只討論其中的3個平衡點:$A(0,0)$,$B( -\text{π} ,0)$,$C(\text{π},0)$,分別將以上3個平衡點代入方程(27)和(29)式可得:

      $\qquad {h_1} = H(0,0) = - \frac{g}{l},\;{h_2} = {h_3} = H( - \text{π} ,0) = H(\text{π} ,0) = \frac{g}{l},$

      $\qquad J(0,0) = \frac{g}{l},\;J( - \pi ,0) = - \frac{g}{l}.$

      從平面動力系統理論可知,平面相圖中軌道的走向和分布取決于方程(25)的平衡點的特征和位置, 并決定了方程(25)解的類型和動力學行為. 接下來,我們將給出平面方程(25)的相圖分支. 基于(28)式和(29)式以及平面動力系統理論,我們很容易知道 $A(0,0)$ 是一個中心點,$B( -\text{π} ,0)$$C(\text{π} ,0)$ 是2個鞍點. 通過分析3個平衡點的特征與位置關系,利用Maple軟件,我們繪出了方程(25)的相圖(圖3(a)). 通過數值模擬的方式,取 ${\theta _0} = \dfrac{\text{π}}{4},\phi (0) = 0$ 為初值,我們繪出了與某個藍色閉軌道相對應的波形圖(圖3(b)). 值得注意的是, 現實中的單擺的最大擺角不超過 $ \pm \dfrac{\text{π} }{2},$ 即不超過圖3(a)中的2條綠色豎線之間.

      圖  3  整數階自由振動的非線性單擺模型的相圖和波形圖

      Figure 3.  Phase portraits and wave-form graph of nonlinear pendulum model of integer-order free vibration

      圖3(a)中看出,在不考慮擺線摩擦的情況下,單擺運動的相軌道為一對稱的橢圓形閉軌,表明單擺作周期性的振動. 在理論上,相圖的平衡點是 $( -\text{π} ,0)$$(\text{π} ,0)$,但在實際情況中自由擺角的最大幅度不會超過 $ \pm \dfrac{\text{π} }{2},$ 若超過 $ \pm \dfrac{\text{π} }{2}$,單擺將不會作周期運動,故在圖3(a)中的有效軌道應為介于區間 $\left[ { - \dfrac{\text{π} }{2},\dfrac{\text{π} }{2}} \right]$,即圖中標記為藍色的軌道. 為了研究方程(25)解的性質,我們將對部分軌道進行求解. 由初值條件 $\phi (0) = {\theta _0},\; \phi '(0) = 0$ 知,通過方程(26),我們可以得到:

      $\qquad h = - \frac{g}{l}\cos {\theta _0}.$

      將(32)式代入方程(27),解得:

      $\qquad y = \pm \sqrt {\frac{{2g}}{l}(\cos \phi - \cos {\theta _0})} .$

      在第一擺的情況下,$\dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} < 0,$ 故由 $\dfrac{{{\rm{d}}\phi }}{{{\rm{d}}t}} = y$ 可得:

      $\qquad \begin{split} \int\nolimits_{{\theta _0}}^\phi {\frac{{{\rm{d}}\phi }}{{\sqrt {\cos \phi - \cos {\theta _0}} }}} = - \sqrt {\frac{{2g}}{l}} \int\limits_0^t {{\rm{d}}t} . \end{split} $

      $\qquad \int\nolimits_0^\phi {\frac{{{\rm{d}}\phi }}{{\sqrt {\cos \phi - \cos {\theta _0}} }}} = \int\limits_0^{{\theta _0}} {\frac{{{\rm{d}}\phi }}{{\sqrt {\cos \phi - \cos {\theta _0}} }}} - \sqrt {\frac{{2g}}{l}} \;t.$

      方程(35)中的積分不能用初等函數表示,因此我們無法通過(35)來獲得方程(23)的精確解析解. 但我們可以利用方程(25)進行波形的數值模擬,在 ${\theta _0} = \dfrac{\text{π} }{4},\;\phi (0) = 0$ 的初值條件下,其單擺的振動形成的波形圖像如圖3(b). 從圖3(b)可以看出,無阻尼的非線性擺動是一種周期的簡諧振動,這與前面提到的無阻尼分數階系統完全不同.

      若擺線摩擦系數 $\mu \ne 0$,我們可以通過Maple軟件繪出有阻尼的單擺自由振動時的相圖以及與之對應的波形圖(圖4(a)圖4(b)).

      圖  4  不同初值條件下有阻尼的單擺模型的相圖

      Figure 4.  Phase portrait of a pendulum model with damping under different initial conditions

      從相圖(即圖4)中的軌道的運行情況可以看出,有阻尼自由振動的單擺模型的相圖軌跡是一個不封閉的曲線,它的相軌道呈螺旋狀,按順時針方向做螺旋遞進運動,最后趨于穩定的平衡位置,這個平衡位置就是方程(25)的穩定焦點. 又從數值模擬的波形圖(即圖5)來看,有阻尼的單擺在自由振動時,振動幅度會隨著時間的增加而減小,即單擺從最大偏轉角開始擺動一段時間后就靜止下來了. 從而, 可以得出這樣的結論:有阻尼的單擺運動,即便是在理想狀態下也不會出現周期運動.

      圖  5  不同初值條件下有阻尼的單擺模型的波形圖

      Figure 5.  The waveform graphs of the pendulum model with damping under different initial conditions

      顯然,整數階線性模型方程(4)的通解有3種:

      $\qquad \begin{split} \phi (t) =& {c_1}{{\rm{e}}^{\left( { - \frac{\mu }{{2m}} - \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}} - \frac{{4g}}{l}} } \right)t}} + {c_2}{{\rm{e}}^{\left( { - \frac{\mu }{{2m}} - \frac{1}{2}\sqrt {\frac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}} + \frac{{4g}}{l}} } \right)t}},\\ \phi (t) =& \left( {{c_1} + {c_2}t} \right){{\rm{e}}^{ - \;\frac{\mu }{{2m}}t}},\\ \phi (t) =& {{\rm{e}}^{ - \;\frac{\mu }{{2m}}t}}\left[ {{c_1}\cos \left( {\dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{4g}}{l} - \dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}}} \;t} \!\right) + {c_1}\cos \left(\! {\dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{4g}}{l} - \dfrac{{{\mu ^2}}}{{{m^2}}}} \;t}\! \right)} \right]. \end{split} $

      但是,無論分數階線性模型方程(1)和(2)的階數 $\alpha $ 怎么地趨近于 $1,$ 它們的精確解也無法退化到上述3種精確解的形式,這就是分數階系統與整數階系統的最大區別.

    • 通過對分數階和整數階2類自由振動的單擺模型方程的對比研究,我們發現在無阻尼的理想狀態下,整數階單擺模型的振動是周期的簡諧振動,而分數階單擺模型的振動是非周期的衰減振動. 因此,我們得出結論:有阻尼的整數階單擺模型的振動,往往受制于擺線的摩擦力,而在分數階單擺模型的振動中,受制約因素有2種,一種是黏滯阻力,另一種才是擺線的摩擦力. 然而,起主要制約因素的卻是黏滯阻力,而擺線的摩擦力的制約能力反而較小. 另外,分數階和整數階這2類自由振動的單擺模型方程解的區別也比較大,無論分數階模型的階數 $\alpha $ 怎樣接近于 $1,$ 其解也不會趨近于整數階模型的解,其數學模型當階數 $\alpha \to 1$ 時,分數階時間模型方程(1)和(2)可以退化到整數階模型方程(4),但他們的解卻無法退化到方程(4)的精確解形式,這也是分數階模型與整數階模型的最大區別. 此外,在分數階系統中,$\alpha $ 越小以及黏滯系數 ${\sigma _\alpha }$ 越小,擺動次數越少,擺動幅度也越??;$\alpha $ 越大以及黏滯系數 ${\sigma _\alpha }$ 越大,擺動次數越多,擺動幅度也越大,但無論階數 $\alpha $ 多么地接近于 $1,$ 黏滯系數 ${\sigma _\alpha }$ 多么地接近于 $0,$ 擺動次數都是有限的,不會像無阻尼的整數階系統那樣無限次的擺動下去,擺動幅度也不會恒定.

      從分數階模型獲得的這些理論,有助于海洋中一些設備的減震設計,從“$\alpha $ 越小以及黏滯系數 ${\sigma _\alpha }$ 越小,單擺的擺動次數越少,擺動幅度也越小”這個結論中,人們能夠得到啟發,在減震設計中可以限制類似于 $\alpha $${\sigma _\alpha }$ 的參數,達到相應的減震需求.

參考文獻 (26)

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