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費用約束條件下帶有競爭風險的逐級刪失模型的優化

楊明杰 楊春燕

引用本文:
Citation:

費用約束條件下帶有競爭風險的逐級刪失模型的優化

    作者簡介: 楊明杰(1991?),男,河南人,碩士生,主要從事概率論與數理統計方面的研究. E-mail:525116719@qq.com;
    通訊作者: 楊春燕, yangchy@ynu.edu.cn
  • 中圖分類號: O213.2

Planning progressive censoring life tests with competing risks under cost constraints

    Corresponding author: YANG Chun-yan, yangchy@ynu.edu.cn
  • CLC number: O213.2

  • 摘要: 對帶有競爭風險的產品,研究了帶有隨機移走的定時截尾逐級刪失壽命試驗在費用約束條件下的優化設計. 假定產品的失效是由多個獨立的原因導致的,不同失效原因下,產品壽命服從不同參數的指數分布且相互獨立,推導了似然函數和Fisher信息陣,建立了費用函數. 對給定的試驗預算,通過極小化Fisher信息陣的逆的行列式(D-optimality)得到了試驗產品數、觀測次數以及觀測間隔的最優取值. 并利用Monte-Carlo方法進行了敏感性分析,考察了不同的壽命參數,移走概率以及費用系數的變化對最優解的影響.
  • 表 1  對應不同參數組合的模型最優解(n,k,t)(cr=3000,cs=60,cI=30,co=15,ca=70)

    Table 1.  Optimal plans of the model corresponding to different parameter combinations (n,k,t)(cr=3000,cs=60,cI=30,co=15,ca=70)

    λ1λ2pnktG(n, k, t)k*t
    0.392 0.114 0.05 45 4 1.83 0.000006 7.32
    0.1 45 4 1.83 0.000006 7.32
    0.2 45 4 1.83 0.000007 7.32
    0.3 45 3 1.99 0.000008 5.97
    0.5 45 3 1.99 0.000010 5.97
    0.712 0.314 0.05 46 4 0.83 0.000134 3.32
    0.1 45 5 1.06 0.000142 5.3
    0.2 47 2 1.66 0.000153 3.32
    0.3 47 2 1.66 0.000158 3.32
    0.5 47 2 1.66 0.000169 3.32
    1.032 0.514 0.05 46 4 0.83 0.000713 3.32
    0.1 46 4 0.83 0.000742 3.32
    0.2 46 4 0.83 0.000791 3.32
    0.3 46 4 0.83 0.000855 3.32
    0.5 46 4 0.83 0.000974 3.32
    1.352 0.714 0.05 45 6 0.55 0.00237 3.3
    0.1 45 6 0.55 0.00248 3.3
    0.2 46 4 0.83 0.00269 3.32
    0.3 46 4 0.83 0.00281 3.32
    0.5 46 4 0.83 0.00304 3.32
    1.672 0.914 0.05 47 3 0.44 0.00571 1.32
    0.1 47 3 0.44 0.00592 1.32
    0.2 47 3 0.44 0.00637 1.32
    0.3 47 3 0.44 0.00681 1.32
    0.5 47 3 0.44 0.00792 1.32
    下載: 導出CSV

    表 2  不同費用系數組合下的最優解(n,k,t)(${\hat {{\lambda}} _1},$=1.032,$\;{\hat {{\lambda}} _2} $=0.514,p=0.05)

    Table 2.  Optimal plans for different combinations of cost coefficients(${\hat \lambda _1}=1.032,\;{\hat \lambda _2}=0.514$, p=0.05)

    crcscIcocanktG(n, k, t)k*t
    1 000 60 30 15 70 14 3 0.98 0.00877 2.94
    2 000 30 3 0.88 0.00174 2.64
    3 000 46 4 0.83 0.00071 3.32
    4 000 62 5 0.79 0.00039 3.95
    5 000 79 5 0.53 0.00023 2.65
    6 000 95 6 0.55 0.00016 3.3
    3 000 30 30 15 70 91 5 0.66 0.00017 3.3
    40 69 4 0.83 0.00031 3.32
    50 54 6 0.55 0.00050 3.3
    60 46 4 0.83 0.00071 3.32
    70 39 5 0.66 0.00096 3.3
    80 35 3 0.88 0.00128 2.64
    3000 60 20 15 70 46 6 0.55 0.00069 3.3
    25 46 5 0.59 0.00069 2.95
    30 46 4 0.83 0.00071 3.32
    35 45 5 0.73 0.00073 3.65
    40 44 6 0.55 0.00075 3.3
    45 46 3 0.77 0.00073 2.31
    3000 60 30 5 70 46 5 0.79 0.00070 3.95
    10 47 3 0.66 0.00071 1.98
    15 46 4 0.83 0.00071 3.32
    20 46 6 0.62 0.00071 2.48
    25 45 5 0.63 0.00072 3.15
    30 45 5 0.53 0.00073 2.65
    3000 60 30 15 50 46 5 0.53 0.00070 2.65
    60 47 3 0.66 0.00071 1.98
    70 46 4 0.83 0.00071 3.32
    80 46 4 0.66 0.00070 2.64
    90 45 5 0.79 0.00074 3.95
    100 45 5 0.66 0.00072 3.3
    下載: 導出CSV

    表 3  不同費用系數組合下的最優解 (n,k,t)(${\hat {{\lambda}} _1}$=1.032,${\hat {{\lambda}} _2}$=0.514 ,p=0.3)

    Table 3.  Optimal plans for different combinations of cost coefficients (${\hat \lambda _1}=1.032,\;{\hat \lambda _2}=0.514$,p=0.3)

    crcscIcocanktG(n, k, t)k*t
    1000 60 30 15 70 14 3 0.99 0.00926 2.97
    2 000 30 3 0.88 0.00202 2.64
    3000 46 4 0.83 0.00085 3.32
    4000 64 3 0.99 0.00040 2.97
    5000 80 3 0.88 0.00028 2.64
    6000 96 4 0.83 0.00019 3.32
    3000 30 30 15 70 94 3 1.66 0.00020 4.98
    40 70 3 0.88 0.00037 2.64
    50 56 3 0.88 0.00057 2.64
    60 46 4 0.83 0.00085 3.32
    70 40 3 0.88 0.00113 2.64
    80 35 3 0.88 0.00148 2.64
    3000 60 20 15 70 47 5 1.11 0.00081 5.55
    25 47 3 0.77 0.00084 2.31
    30 46 4 0.83 0.00085 3.32
    35 47 3 1.33 0.00082 3.99
    40 46 4 1.11 0.00085 4.44
    45 46 3 0.77 0.00087 2.31
    3000 60 30 5 70 46 5 1.98 0.00084 9.9
    10 47 3 1.98 0.00082 5.94
    15 46 4 0.83 0.00085 3.32
    20 47 3 1.24 0.00082 3.72
    25 47 3 0.99 0.00082 2.97
    30 46 3 0.88 0.00086 2.64
    3000 60 30 15 50 47 3 0.88 0.00082 2.64
    60 47 4 1.98 0.00081 7.92
    70 46 4 0.83 0.00085 3.32
    80 47 3 1.33 0.00082 3.99
    90 47 3 0.99 0.00082 2.97
    100 46 4 1.11 0.00085 4.44
    下載: 導出CSV
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  • 加載中
表(3)
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出版歷程
  • 收稿日期:  2020-02-20
  • 錄用日期:  2020-07-22
  • 網絡出版日期:  2020-07-24
  • 刊出日期:  2020-09-22

費用約束條件下帶有競爭風險的逐級刪失模型的優化

    作者簡介:楊明杰(1991?),男,河南人,碩士生,主要從事概率論與數理統計方面的研究. E-mail:525116719@qq.com
    通訊作者: 楊春燕, yangchy@ynu.edu.cn
  • 云南大學 數學與統計學院,云南 昆明 650091

摘要: 對帶有競爭風險的產品,研究了帶有隨機移走的定時截尾逐級刪失壽命試驗在費用約束條件下的優化設計. 假定產品的失效是由多個獨立的原因導致的,不同失效原因下,產品壽命服從不同參數的指數分布且相互獨立,推導了似然函數和Fisher信息陣,建立了費用函數. 對給定的試驗預算,通過極小化Fisher信息陣的逆的行列式(D-optimality)得到了試驗產品數、觀測次數以及觀測間隔的最優取值. 并利用Monte-Carlo方法進行了敏感性分析,考察了不同的壽命參數,移走概率以及費用系數的變化對最優解的影響.

English Abstract

  • 面對全球日益加劇的激烈競爭和客戶對產品質量越來越高的要求,設計和生產出高可靠性長壽命的產品是制造業贏得競爭的關鍵. 為了獲取有關產品壽命分布的信息,壽命試驗被廣泛采用. 在試驗過程的各個階段,常常有部分未失效的產品由于各種原因需要被移走,例如實驗經費的削減、為其它實驗空置出實驗設備或需要仔細檢測經過一段時間試驗之后的產品的性能變化等,這就導致了逐級刪失的發生. 關于逐級刪失模型的研究,一直以來受到國內外學者的關注[1-3].

    為提高產品的可靠性,確定導致產品失效的原因(也稱失效機理)也是一個很重要的方面. 很多時候,產品的失效是由多種原因中的某一個所導致,這就是競爭失效. 例如,一個產品由不同的零部件構成,其中任何一個零部件的失效都會導致產品的失效[4]. 關于競爭風險模型的理論和方法在文獻[5]中有詳細討論. 帶有競爭風險的壽命試驗在文獻中有很多討論,但其中關于定時截尾逐級刪失模型的討論很少. 文獻[68]討論了恒加壽命試驗在帶有競爭風險的定時截尾和定數截尾逐級刪失模型下的優化問題. 對于普通壽命試驗,文獻[9]討論了當產品壽命服從Weibull分布時,帶有競爭風險的定時截尾逐級刪失模型下的抽樣方案的設計,文獻[10]研究了當產品壽命服從指數分布時,帶有競爭風險的定時截尾逐級刪失模型下的優化設計. 但在以上這些研究工作中,都沒有考慮費用受到約束的情況,然而在實際中,這是一個很現實的問題. 如何在給定的費用條件下選取最優的試驗參數(包括投入試驗的產品數、觀測次數和觀測間隔等)進行試驗,使得估計的精度最高,這是實驗者在進行實驗之前需要考慮的問題.

    本文中,假定產品壽命服從指數分布,研究了帶有競爭風險的定時截尾逐級刪失壽命試驗在費用約束條件下的優化問題. 為簡化實驗方便管理,采用間隔觀測記錄實驗數據,并假定在每次觀測時移走的試驗產品數服從二項分布. 根據文獻[11],我們可以假定導致產品失效的原因之間是相互獨立的,并且每個原因所導致的產品失效服從不同參數的指數分布,在此基礎上建立模型,獲得壽命參數的極大似然估計,推導了Fisher信息陣,并建立了費用模型. 對給定的試驗預算,用數值方法確定最優的試驗產品數、觀測次數以及觀測間隔,使得Fisher信息陣的逆的行列式達到最小 (D-optimality), 并通過Monte-Carlo模擬進行敏感性分析,討論了壽命分布參數的估計值以及移走概率的變化對最優解的影響.

    • 假定有n個產品投入到壽命試驗當中,每個產品都有s種失效機理,每一種失效機理之間相互獨立且服從不同參數的指數分布,記各分布的參數為λj,$j=1,2, \cdots ,s.$Xi表示第i個產品的壽命($i=1,2, \cdots ,n$),Xij表示在風險j下第i個產品的壽命,其概率密度函數為 $f({x_{ij}})={\lambda _j}{{\rm{e}}^{ - {\lambda _j}{x_{ij}}}}$,則第i個產品的壽命可表述為 ${X_i}=\min \{ {X_{i1}},{X_{i2}}, \cdots ,{X_{is}}\} $. 通過推導,可得到由失效機理j導致的第i個產品失效的聯合概率密度函數 $f({x_i},j)={\lambda _j}{{\rm{e}}^{ - {\lambda ^*}{x_i}}}$ 以及聯合分布函數 $F({x_i},j)=\dfrac{{{\lambda _{{j}}}}}{{{\lambda ^*}}}(1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda ^*}{x_i}}})$,其中xi>0,${\lambda ^*}={\lambda _1} + {\lambda _2} + \cdots {\lambda _s}$.

      考慮在定時截尾逐級刪失模型下的競爭試驗. 為簡化操作方便管理,采用間隔觀測記錄數據,記試驗觀測時刻點為 ${t_1},{t_2}, \cdots ,{t_k}$,${t_1} < {t_2} < \cdots < {t_k}$. 特別地,記t0=0為試驗開始的時刻點. 用nij表示在第i個區間(ti?1, ti]上由失效機理j所導致的產品失效的個數,i=1, 2,$ \cdots , $ k. 假定在觀測點ti處有ri個未失效的產品被移走. 記 ${n_{i + }}=\displaystyle\sum\limits_{j=1}^s {{n_{ij}}} $ 表示在區間(ti?1, ti]上由s個失效機理所導致的試驗產品失效的總個數,則 ${m_i}=n - \displaystyle\sum\limits_{l=1}^{i - 1} {{n_{l + }}} - \displaystyle\sum\limits_{l=1}^{i - 1} {{r_l}} $ 表示在觀察時刻點ti?1剩余的未失效的產品個數,i=1, 2,$ \cdots ,$ k. 對于給定的試驗觀察數據 ${n_{i - 1,1}}, \cdots ,{n_{i - 1,s}}, \cdots ,{n_{11}}, \cdots, {n_{1s}},{r_1}, \cdots ,{r_{i - 1}}$,有

      $\qquad \left. {{N_{{\rm{i1}}}}, \cdots ,{N_{is}}} \right|{n_{i - 1,1}}, \cdots ,{n_{i - 1,s}}, \cdots ,{n_{11}}, \cdots ,{n_{1s}},{r_1}, \cdots ,{r_{i - 1}}\sim {\rm{Multinomial}}({m_i},{q_{i1}}, \cdots, {q_{is}},1 - {q_i}). $

      其中,${q_{ij}}=\dfrac{{{{F(}}{{{t}}_i},j) - F({t_{i - 1}},j)}}{{1 - F({t_{i - 1}})}}=\dfrac{{{\lambda _j}}}{{{\lambda ^*}}}(1 - {{\rm{e}}^{\lambda ^*({t_i} - {t_{i - 1}})}})$ 表示給定一個產品在時刻ti?1之前沒有失效的條件下,在區間(ti?1, ti]上由第j個機理導致失效的概率; ${q_{{i}}}=\dfrac{{F({{{t}}_i}) - F({t_{i - 1}})}}{{1 - F({t_{i - 1}})}}=1 - {\rm{e}}^{\lambda ^*({{{t}}_i} - {{{t}}_{i - 1}})}$ 表示給定一個產品在時刻ti?1之前沒有失效的條件下,在區間(ti?1, ti]上失效的概率, i=1, 2,$ \cdots ,$ k,j=1, 2,$ \cdots ,$ s. 根據假定及以上記號,在時刻ti處移走的未失效產品數Ri服從以下二項分布:

      $\qquad \left. {{R_i}} \right|{n_{i1}}, \cdots ,{n_{is}}, \cdots ,{n_{11}}, \cdots ,{n_{1s}},{r_1}, \cdots ,{r_{i - 1}}\sim {\rm{Binomial}}({m_i} - {n_{i + }},p).$

      假定試驗在T0時刻結束,得到觀測值{nij, ri, i=1, 2, $\cdots , $ k; j=1, 2,$ \cdots , $ s},則似然函數L(λ1, λ2, $ \cdots ,$ λs)可表示如下:

      $\qquad \begin{split} L{\rm{(}}{\lambda _{\rm{1}}}, \cdots ,{\lambda _{\rm{s}}})=& \prod\limits_{i=1}^k {f(} \left. {{n_{{\rm{i1}}}}, \cdots ,{n_{is}}} \right|{n_{i - 1,1}}, \cdots ,{n_{i - 1,s}}, \cdots ,{n_{11}}, \cdots ,{n_{1s}},{r_1}, \cdots ,{r_{i - 1}}) \times \\ &\left. {f{\rm{(}}{r_i}} \right|{n_{i1}}, \cdots ,{n_{is}}, \cdots ,{n_{11}}, \cdots ,{n_{1s}},{r_1}, \cdots ,{r_{i - 1}}){\rm{=}}\\ &\prod\limits_{{{i}}=1}^k {\bigg(\prod\limits_{j=1}^s {q_{ij}^{{n_{ij}}}\bigg)} } {(1 - {q_i})^{{m_i} - {n_{i + }}}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{m_i} - {n_{i + }}}\\ {{r_i}} \end{array}} \right){p^{{r_i}}}{(1 - p)^{{m_i} - {n_{i + }} - {r_i}}} \propto \\ &\prod\limits_{{{i}}=1}^k {\bigg(\prod\limits_{j=1}^s {q_{ij}^{{n_{ij}}}\bigg)} } {(1 - {q_i})^{{m_i} - {n_{i + }}}} \propto \\ &\prod\limits_{{{i}}=1}^k {\prod\limits_{j=1}^s {{{\bigg(\frac{{{\lambda _j}}}{{{\lambda ^*}}}\frac{{{q_i}}}{{1 - {q_i}}}\bigg)}^{{n_{ij}}}}} } {(1 - {q_i})^{{m_i}}}, \end{split} $

      對極大似然函數L(λ1, λ2, $ \cdots ,$ λs)取對數,然后對λj求導,經整理可得

      $\qquad \frac{{\partial {\rm{ln}}L}}{{\partial {\lambda _j}}}=\frac{{{n_{ + j}}}}{{{\lambda _j}}} + \sum\limits_{i=1}^k {\bigg[{n_{i + }}\bigg(\frac{{{t_i} - {t_{i - 1}}}}{{{q_i}}} - \frac{1}{{{\lambda ^*}}}\bigg) - {{{m}}_i}({t_i} - {t_{i - 1}})\bigg]} =0,$

      其中 ${n_{ + j}}=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k {{n_{ij}}} $ 表示在整個試驗過程中,由于失效機理j所導致的試驗產品失效的總個數,對數似然方程(1)的解一定滿足

      $\qquad {\lambda _j}=\frac{{{n_{ + j}}}}{{{n_{ + + }}}}{\lambda ^*}, \;\;j={\rm{1,2,}} \cdots ,s.$

      其中 ${n_{ + + }}=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k {\displaystyle\sum\limits_{j=1}^s {{n_{ij}}} } $ 表示在整個試驗過程中總的失效產品個數. 把(2)式代入方程(1)可得

      $\qquad \sum\limits_{i=1}^k {\frac{{{n_{i + }}}}{{{q_i}}}} ({t_i} - {t_{i - 1}}) - \sum\limits_{i=1}^k {{m_i}} ({t_i} - {t_{i - 1}})=0.$

      $f({\lambda ^*})=\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k {\frac{{{n_{i + }}}}{{{q_i}}}} ({t_i} - {t_{i - 1}}) - \displaystyle\sum\limits_{i=1}^k {{m_i}} ({t_i} - {t_{i - 1}})$,不難證明函數 $f({\lambda ^*})$ 在區間 $({\rm{0}}, + \infty )$ 上單調遞減,且有唯一解. 為方便進行試驗,通常采用等間隔觀測,即ti?ti?1=t,通過(3)式可以解得

      $\qquad \mathop {{\lambda ^*}}\limits^ {\wedge} =\frac{{\ln \bigg(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k {{m_i}} \bigg) - \ln \bigg(\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k {{m_i} - {n_{ + + }}} \bigg)}}{t}.$

      把(4)式帶入(2)式可得到參數λ1, λ2, $ \cdots , $ λs的極大似然估計.

      參數估計的精度是由估計量的方差度量的,為此推導Fisher信息陣 $I({\lambda _{\rm{1}}}, \cdots ,{\lambda _s})$.

      $\qquad \begin{split} I({\lambda _{\rm{1}}}, \cdots ,{\lambda _s})=&{\bigg[E\bigg( - \frac{{{\partial ^2}\ln L}}{{\partial {\lambda _j}\partial {\lambda _l}}}\bigg)\bigg]_{s \times s}},j=1,{\rm{ }}2, \cdots ,s;\;l=1,{\rm{ }}2, \cdots ,s.\\ E\bigg( - \dfrac{{{\partial ^2}\ln L}}{{\partial {\lambda _j}\partial {\lambda _l}}}\bigg)=&\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{E({n_{ + j}})}}{{\lambda _j^2}} + \displaystyle\sum\limits_{i=1}^k {E({n_{i + }})\bigg[\dfrac{{{{({t_i} - {t_{i - 1}})}^2}}}{{q_i^2}} - \dfrac{1}{{{\lambda ^*}^2}}\bigg],\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}j=l,} }\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k {E({n_{i + }})\bigg[\dfrac{{{{({t_i} - {t_{i - 1}})}^2}}}{{q_i^2}} - \dfrac{1}{{{\lambda ^*}^2}}\bigg],} \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{} \end{array}j \ne l.} \end{array}} \right. \end{split} $

      經推導和計算可得

      $\qquad \begin{split} E({m_{\rm{i}}})&=n\prod\limits_{l=1}^{i - 1} {[(1 - {q_l})(1 - p)} ], \\ E({n_{ij}})&=E({m_i}){q_{ij}}=n\prod\limits_{l=1}^{i - 1} {[(1 - {q_l})(1 - p)]{q_{ij}}} , \\ E({r_{\rm{i}}})&=E(({m_{\rm{i}}} - {n_{{\rm{i}} + }})p)=n\prod\limits_{l=1}^{i - 1} {[(1 - {q_l})(1 - p)](1 - {q_i})p} . \end{split} $

      進一步有

      $\qquad \begin{split} E({n_{i + }})=&n\prod\limits_{l=1}^{i - 1} {[(1 - {q_l})(1 - p)]{q_i}} ,\\ E({n_{ + {{j}}}})=&n\displaystyle\sum\limits_{i=1}^k {\prod\limits_{l=1}^{i - 1} {[(1 - {q_l})(1 - p)]{q_{ij}}} ,} \end{split}$

      ti?ti-1=t,(5)式可簡化為

      $\qquad E\bigg( - \dfrac{{{\partial ^2}\ln L}}{{\partial {\lambda _j}\partial {\lambda _l}}}\bigg)=\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {nq\dfrac{{1 - {{[(1 - q)(1 - p)]}^k}}}{{1 - (1 - q)(1 - p)}}\bigg[\dfrac{{{t^2}(1 - q)}}{{{q^2}}} + \dfrac{{{\lambda ^*} - {\lambda _j}}}{{{\lambda ^*}^2{\lambda _j}}}\bigg],\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}j=l,} \\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!{nq\dfrac{{1 - {{[(1 - q)(1 - p)]}^k}}}{{1 - (1 - q)(1 - p)}}\bigg[\dfrac{{{t^2}(1 - q)}}{{{q^2}}} - \dfrac{1}{{{\lambda ^*}^2}}\bigg],\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}j \ne l,} \end{array}} \right.$

      其中 $ q=1 - {{\rm{e}}^{ - {\lambda ^*}t}}$.

      特別地,對于只有2種失效機理的競爭實驗,即s=2時,可得Fisher信息陣如下:

      $\qquad I({\lambda _{\rm{1}}},{\lambda _2})=nq\frac{{1 - {{[(1 - q)(1 - p)]}^k}}}{{1 - (1 - q)(1 - p)}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{o_{11}}}&{{o_{12}}} \\ {{o_{21}}}&{{o_{22}}} \end{array}} \right),$

      其中 ${o_{11}}=\dfrac{{{t^2}(1 - q)}}{{{q^2}}} + \dfrac{{{\lambda ^*} - {\lambda _1}}}{{{\lambda ^*}^2\lambda {}_1}}$,${o_{{\rm{22}}}}=\dfrac{{{t^2}(1 - q)}}{{{q^2}}} + \dfrac{{{\lambda ^*} - {\lambda _{\rm{2}}}}}{{{\lambda ^*}^2\lambda {}_{\rm{2}}}}$,${o_{1{\rm{2}}}}={o_{21}}=\dfrac{{{t^2}(1 - q)}}{{{q^2}}} - \dfrac{1}{{{\lambda ^*}^2}}$. 則

      $\qquad {I^{ - 1}}({\lambda _{\rm{1}}},{\lambda _2})=\frac{{1 - (1 - q)(1 - p)}}{{nq(1 - {{[(1 - q)(1 - p)]}^k})}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\gamma _{11}}}&{{\gamma _{12}}} \\ {{\gamma _{21}}}&{{\gamma _{22}}} \end{array}} \right),$

      此即參數 $\left( {{\lambda _{\rm{1}}},{\lambda _{\rm{2}}}} \right)$ 的聯合極大似然估計 $({\hat \lambda _1},{\hat \lambda _{\rm{2}}})$ 的協方差矩陣. 其中 ${\gamma _{{\rm{11}}}}=\dfrac{{{o_{22}}}}{{{o_{11}}{o_{22}} - o_{12}^2}}$,${\gamma _{{\rm{22}}}}=\dfrac{{{o_{{\rm{11}}}}}}{{{o_{11}}{o_{22}} - o_{12}^2}}$,${\gamma _{{\rm{12}}}}={\gamma _{{\rm{21}}}}=\dfrac{{ - {o_{22}}}}{{{o_{11}}{o_{22}} - o_{12}^2}}$. |${I^{ - 1}}({\lambda _{\rm{1}}},{\lambda _2})$|反映了參數 $\left( {{\lambda _{\rm{1}}},{\lambda _{\rm{2}}}} \right)$ 的聯合置信區域的精度,|${I^{ - 1}}({\lambda _{\rm{1}}},{\lambda _2})$|越小,估計的精度越高.

      $\mathop {{\lambda ^*}}\limits^ {\wedge} $ 的漸近正態性,即當 $n \to \infty $ 時,$\sqrt n ({\hat \lambda ^*} - {\lambda ^ * }) \sim N(0,{V^ * }),$ 其中

      $\qquad {V^{\rm{*}}}=\frac{{1 - (1 - q)(1 - p)}}{{q(1 - {{[(1 - q)(1 - p)]}^k})}}({\gamma _{11}} + {\gamma _{22}} + 2{\gamma _{12}}),$

      可得 ${\lambda ^*}$ 的95%置信區間為 $\left( {\mathop {{\lambda ^*}}\limits^ {\wedge} - 1.96\sqrt {\dfrac{{{V^*}}}{n}} ,\mathop {{\lambda ^*}}\limits^ {\wedge} + 1.96\sqrt {\dfrac{{{V^*}}}{n}} } \right).$

    • 在產品的研發階段或投放市場之前,都需要進行壽命試驗對產品的質量進行評估. 當給定試驗經費時,實驗者所面臨的一個實際問題是怎樣進行試驗才能使參數估計達到盡可能高的精度. 在所提出的模型下,具體要回答需要投入多少產品進行試驗,試驗應該觀測多少次,每2次觀測的時間間隔應該多長?本節將建立費用模型,對以上問題進行討論.

      考慮進行試驗的整個過程,費用函數應包括以下4個方面:

      (1)試驗的基礎裝置費用:不取決于試驗產品的個數,記為ca;

      (2)投入試驗的產品的成本:記一個試驗產品的生產成本為cs,則n個產品的總成本為ncs;

      (3)觀測費用:與觀測次數有關,記一次觀測的費用為cI,則總觀測費用為ncI;

      (4)試驗的運作費用:主要包括試驗者的人工費,與試驗進行的時間有關,用co表示單位時間試驗的運作費用,則試驗的總運作費為ktco.

      cT表示試驗的總費用,則

      $\qquad {c_T}={c_a} + n{c_s} + k{c_{{I}}} + kt{c_o}. $

      記給定的試驗經費為cr, $G(n,k,t)=\left| {{I^{ - 1}}({\lambda _1},{\lambda _2})} \right|$,則研究的問題可表述如下:

        極小化目標函數 G(n, k, t);

        約束條件 ${c_a} + n{c_s} + k{c_I} + kt{c_o} \leqslant {c_r}$,其中n, k為正整數,t > 0.

      這是一個非線性混合整數規劃問題,很難直接依據條件解出n, k, t,我們將按照如下算法求出其數值解:

      第1步,給定費用系數ca,cs,cI,co,cr,移走概率p以及壽命分布參數(λ1,λ2)(此參數可通過第1節的方法估計得到);

      第2步,利用給定的約束條件,計算試驗產品總數n的上界 $\tilde n =\Big[\dfrac{{{c_r} - {c_a} - {c_I}}}{{{c_s}}}\Big]$,其中符號“[]”,表示不超過 $\dfrac{{{c_r} - {c_a} - {c_{\rm{I}}}}}{{{c_s}}}$ 的最大整數;

      第3步,取n的初始值為2;

      第4步,對給定的n,計算試驗觀察次數k的上界 $ {{\tilde k_{{n}}}}=\Big[\dfrac{{{c_r} - {c_a} - n{c_s}}}{{{c_I}}}\Big]$;

      第5步,取k的初始值為1;

      第6步,對給定的n,k,計算2次觀測之間的間隔長度t的上界 ${{\tilde t_{{{nk}}}}} =\Big[\dfrac{{{c_r} - {c_a} - n{c_s} - k{c_I}}}{{k{c_{\rm{o}}}}}\Big]$;

      第7步,對于給定的試驗截止時間T0和觀測次數k,觀測區間的長度為 $\dfrac{{{T_{\rm{0}}}}}{k}$. 當 ${{\tilde t_{{{nk}}}}} > \dfrac{{{T_0}}}{k}$ 時,在區間 $(0,\;\dfrac{{{T_0}}}{k}]$ 上,找出使G(n, k, t) 達到最小的t值;當 ${{\tilde t_{{{nk}}}}} < \dfrac{{{T_0}}}{k}$ 時,在區間 $({\rm{0,}}\; {{\tilde t_{nk}}} ]$ 上,找出使G(n, k, t) 達到最小的t值;

      第8步,讓n,k遍歷所有可能的取值,對每一組給定的(n,k),找出使G(n, k, t) 達到最小的t值,比較所有的G(n, k, t),找出對應最小G(n, k, t)的(n,k,t),此即為最優解.

    • 在對帶有競爭風險的壽命試驗進行優化時,首先要獲得壽命參數(λ1,λ2)的初步估計,為此進行以下數值模擬. 考慮失效機理s=2的競爭壽命試驗. 假定產品的壽命獨立且分別服從參數λ1=1.0,λ2=0.5的指數分布,在試驗開始時投入的產品數n=30,試驗觀測次數k=4, 觀測間隔t=0.15,移走的概率p=0.05,試驗在T0=2.0結束,得到觀測值{nij, ri, i=1, 2, 3, 4; j=1, 2},利用第1節介紹的極大似然方法可得到壽命參數(λ1, λ2)的極大似然估計 ${\hat \lambda _1}=1.032,{\hat \lambda _2}=0.514$. 接下來用 ${\hat \lambda _1}=1.032,{\hat \lambda _2}=0.514$ 設計新的試驗,對給定的費用系數ca,cs,cI,co,cr以及移走概率p,在給定費用約束的條件下找出使G(n, k, t)達到最小的(n,k,t). 假定cr=3000,cs=60,cI=30,co=15,ca=70,p=0.05,則優化問題變為:

        極小化目標函數 G(n, k, t);

        約束條件 $70 + 60n + 30k + 15kt \leqslant 3\;000$,其中n, k為正整數,t > 0.

      由第2節給出的算法,可得D-optimality準則下的最優解:n*=46, k*=4, t*=0.83.

      以上最優解是基于產品壽命參數的極大似然估計 ${\hat \lambda _1}=1.032,\;{\hat \lambda _2}=0.514$ 以及移走概率p的估計值p=0.05得出. 在實際中,壽命分布的參數和移走概率p均未知,通常只能根據經驗估計,而這些估計值與真實值之間往往會存在偏差,如果估計不準確對最優解有多大影響?這是實驗者關注的第1個問題. 此外,如果實際中的費用系數不同,最優解會有何變化?這是第2個值得關注的問題. 為此,有必要做敏感性分析,對以上2個問題進行回答.

      首先,考察參數估計值和移走概率的變化對最優解的影響. 沿用上面的數值例子,對于極大似然估計 ${\hat \lambda _1}=1.032,{\hat \lambda _2}=0.514$,可求得λ1λ2的95%的置信區間分別為(0.392,1.672)和(0.114,0.914),讓λ1λ2分別在這2個置信區間中取值,并讓移走概率p從0.05到0.5變化,考察對應不同取值得到的最優解的變化. 如上假定cr=3000,cs=60,cI=30,co=15,ca=70,對應不同模型參數組合的最優解(n,k,t)在表1中給出.

      λ1λ2pnktG(n, k, t)k*t
      0.392 0.114 0.05 45 4 1.83 0.000006 7.32
      0.1 45 4 1.83 0.000006 7.32
      0.2 45 4 1.83 0.000007 7.32
      0.3 45 3 1.99 0.000008 5.97
      0.5 45 3 1.99 0.000010 5.97
      0.712 0.314 0.05 46 4 0.83 0.000134 3.32
      0.1 45 5 1.06 0.000142 5.3
      0.2 47 2 1.66 0.000153 3.32
      0.3 47 2 1.66 0.000158 3.32
      0.5 47 2 1.66 0.000169 3.32
      1.032 0.514 0.05 46 4 0.83 0.000713 3.32
      0.1 46 4 0.83 0.000742 3.32
      0.2 46 4 0.83 0.000791 3.32
      0.3 46 4 0.83 0.000855 3.32
      0.5 46 4 0.83 0.000974 3.32
      1.352 0.714 0.05 45 6 0.55 0.00237 3.3
      0.1 45 6 0.55 0.00248 3.3
      0.2 46 4 0.83 0.00269 3.32
      0.3 46 4 0.83 0.00281 3.32
      0.5 46 4 0.83 0.00304 3.32
      1.672 0.914 0.05 47 3 0.44 0.00571 1.32
      0.1 47 3 0.44 0.00592 1.32
      0.2 47 3 0.44 0.00637 1.32
      0.3 47 3 0.44 0.00681 1.32
      0.5 47 3 0.44 0.00792 1.32

      表 1  對應不同參數組合的模型最優解(n,k,t)(cr=3000,cs=60,cI=30,co=15,ca=70)

      Table 1.  Optimal plans of the model corresponding to different parameter combinations (n,k,t)(cr=3000,cs=60,cI=30,co=15,ca=70)

      以上結果表明,n對壽命分布參數估計 $({\hat \lambda _1},{\hat \lambda _2})$ 以及移走概率p的變化不敏感;t$({\hat \lambda _1},{\hat \lambda _2})$ 的增加而減少,隨p的增加而增加;k的變化不明顯.

      沿用同一個例子,考察費用系數ca,cs,cI,co,cr的變化對最優解(n,k,t)的影響,結果分p=0.05和p=0.3分別列于表2表3. 結果表明,投入試驗的產品數n隨費用預算上限cr的增加而增加,隨樣品成本費用的增加而減少;觀測次數kcr的增加而增加,但幅度不大;觀測間隔tcr的增加而縮短,同時G(n, k, t)的值隨cr的增加而減小,意味著實驗的投入增加會使得估計的精度提高;而其他費用系數的變化對最優解影響不大. 此外,最優解nk對移走概率p的變化均不敏感,受移走概率p的影響比較大的是最優觀測間隔t,隨著p的增大,最優觀測間隔也增大,導致G(n, k, t)有所增加,但總體來說差別不大.

      crcscIcocanktG(n, k, t)k*t
      1 000 60 30 15 70 14 3 0.98 0.00877 2.94
      2 000 30 3 0.88 0.00174 2.64
      3 000 46 4 0.83 0.00071 3.32
      4 000 62 5 0.79 0.00039 3.95
      5 000 79 5 0.53 0.00023 2.65
      6 000 95 6 0.55 0.00016 3.3
      3 000 30 30 15 70 91 5 0.66 0.00017 3.3
      40 69 4 0.83 0.00031 3.32
      50 54 6 0.55 0.00050 3.3
      60 46 4 0.83 0.00071 3.32
      70 39 5 0.66 0.00096 3.3
      80 35 3 0.88 0.00128 2.64
      3000 60 20 15 70 46 6 0.55 0.00069 3.3
      25 46 5 0.59 0.00069 2.95
      30 46 4 0.83 0.00071 3.32
      35 45 5 0.73 0.00073 3.65
      40 44 6 0.55 0.00075 3.3
      45 46 3 0.77 0.00073 2.31
      3000 60 30 5 70 46 5 0.79 0.00070 3.95
      10 47 3 0.66 0.00071 1.98
      15 46 4 0.83 0.00071 3.32
      20 46 6 0.62 0.00071 2.48
      25 45 5 0.63 0.00072 3.15
      30 45 5 0.53 0.00073 2.65
      3000 60 30 15 50 46 5 0.53 0.00070 2.65
      60 47 3 0.66 0.00071 1.98
      70 46 4 0.83 0.00071 3.32
      80 46 4 0.66 0.00070 2.64
      90 45 5 0.79 0.00074 3.95
      100 45 5 0.66 0.00072 3.3

      表 2  不同費用系數組合下的最優解(n,k,t)(${\hat {{\lambda}} _1},$=1.032,$\;{\hat {{\lambda}} _2} $=0.514,p=0.05)

      Table 2.  Optimal plans for different combinations of cost coefficients(${\hat \lambda _1}=1.032,\;{\hat \lambda _2}=0.514$, p=0.05)

      crcscIcocanktG(n, k, t)k*t
      1000 60 30 15 70 14 3 0.99 0.00926 2.97
      2 000 30 3 0.88 0.00202 2.64
      3000 46 4 0.83 0.00085 3.32
      4000 64 3 0.99 0.00040 2.97
      5000 80 3 0.88 0.00028 2.64
      6000 96 4 0.83 0.00019 3.32
      3000 30 30 15 70 94 3 1.66 0.00020 4.98
      40 70 3 0.88 0.00037 2.64
      50 56 3 0.88 0.00057 2.64
      60 46 4 0.83 0.00085 3.32
      70 40 3 0.88 0.00113 2.64
      80 35 3 0.88 0.00148 2.64
      3000 60 20 15 70 47 5 1.11 0.00081 5.55
      25 47 3 0.77 0.00084 2.31
      30 46 4 0.83 0.00085 3.32
      35 47 3 1.33 0.00082 3.99
      40 46 4 1.11 0.00085 4.44
      45 46 3 0.77 0.00087 2.31
      3000 60 30 5 70 46 5 1.98 0.00084 9.9
      10 47 3 1.98 0.00082 5.94
      15 46 4 0.83 0.00085 3.32
      20 47 3 1.24 0.00082 3.72
      25 47 3 0.99 0.00082 2.97
      30 46 3 0.88 0.00086 2.64
      3000 60 30 15 50 47 3 0.88 0.00082 2.64
      60 47 4 1.98 0.00081 7.92
      70 46 4 0.83 0.00085 3.32
      80 47 3 1.33 0.00082 3.99
      90 47 3 0.99 0.00082 2.97
      100 46 4 1.11 0.00085 4.44

      表 3  不同費用系數組合下的最優解 (n,k,t)(${\hat {{\lambda}} _1}$=1.032,${\hat {{\lambda}} _2}$=0.514 ,p=0.3)

      Table 3.  Optimal plans for different combinations of cost coefficients (${\hat \lambda _1}=1.032,\;{\hat \lambda _2}=0.514$,p=0.3)

    • 壽命試驗是評估產品質量的重要手段,在帶有隨機移走的逐級刪失模型下壽命試驗的優化問題近年來在國外受到很多關注和討論. 競爭風險普遍存在于產品的失效機制,是提高產品可靠性必須考慮的一個問題. 本文在費用約束條件下對帶有競爭風險的定時截尾逐級刪失壽命試驗進行了優化設計,并考察了產品壽命分布參數估計的不確定性,不同的移走概率以及費用系數的變化對最優解的影響,研究結果有一定的理論及實際應用價值.

參考文獻 (11)

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