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交錯擴散對具有Ivlev型功能反應的捕食模型共存解存在性的作用

田旻 張麗娜

引用本文:
Citation:

交錯擴散對具有Ivlev型功能反應的捕食模型共存解存在性的作用

    作者簡介: 田旻(1995?),女,甘肅人,碩士生,主要從事偏微分方程理論及應用方面的研究. E-mail:2459659354@qq.com;
    通訊作者: 張麗娜, linazhang@nwnu.edu.cn
  • 中圖分類號: O175.26

The effect of cross-diffusion on the existence of coexistence solutions for a predator-prey model with Ivlev-type functional response

    Corresponding author: ZHANG Li-na, linazhang@nwnu.edu.cn
  • CLC number: O175.26

  • 摘要: 研究交錯擴散對具有Ivlev型功能反應的捕食者-食餌模型共存解存在性的影響,其中交錯擴散描述獵物追逐食餌以及食餌躲避獵物的情形. 首先應用拓撲度理論與指數不動點定理得到共存解存在的充分條件,其次利用能量估計方法導出共存解不存在的充分條件.
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出版歷程
  • 收稿日期:  2020-03-20
  • 錄用日期:  2020-05-18
  • 網絡出版日期:  2020-07-24

交錯擴散對具有Ivlev型功能反應的捕食模型共存解存在性的作用

    作者簡介:田旻(1995?),女,甘肅人,碩士生,主要從事偏微分方程理論及應用方面的研究. E-mail:2459659354@qq.com
    通訊作者: 張麗娜, linazhang@nwnu.edu.cn
  • 西北師范大學 數學與統計學院,甘肅 蘭州 730070

摘要: 研究交錯擴散對具有Ivlev型功能反應的捕食者-食餌模型共存解存在性的影響,其中交錯擴散描述獵物追逐食餌以及食餌躲避獵物的情形. 首先應用拓撲度理論與指數不動點定理得到共存解存在的充分條件,其次利用能量估計方法導出共存解不存在的充分條件.

English Abstract

  • 本文討論如下帶有交錯擴散和Ivlev型功能反應函數的捕食者-食餌模型的平衡態問題系統

    $\qquad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \Delta u - \alpha \Delta v = u(a - u) - {c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru}})v,}&{x \in \Omega ,}\\ {\beta \Delta u - \Delta v = - dv + {c_2}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru}})v,}&{x \in \Omega ,}\\ {u = v = 0,}&{x \in \partial \Omega ,} \end{array}} \right.$

    其中 $\Omega $${{\rm{R}}^N}$ 中邊界光滑的有界區域,$a,\;{c_1},\;{c_2},\;d,\;\alpha,\;\beta,\;r$ 都為正常數. $u,\;v$ 分別表示食餌和捕食者種群的密度函數; $a$ 表示食餌的內稟增長率; $d$ 表示捕食者的死亡率; ${c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru}})$ 是Ivlev型功能反應函數[1]; $\dfrac{{{c_2}}}{{{c_1}}}$ 表示轉化率. $\alpha,\;\beta$ 為交錯擴散系數,生物上 $\alpha $ 代表食餌躲避捕食者,而 $\beta $ 表示捕食者追逐食餌.

    近年來,具有Ivlev型功能反應的捕食者-食餌模型得到了學者們的廣泛研究[2-9]. 已有的研究結果表明,該模型在生物系統中有著廣泛的應用,例如寄生者–宿主系統[2]、動物的皮毛系統[3]等等.

    生態系統中,物種是否能夠共存是研究的熱點問題之一[10]. 在物種空間分布均勻的假設下,文獻[5]研究了系統(1)對應的常微分系統極限環的存在性和唯一性. 當僅考慮自擴散(即(1)中 $\alpha = \beta = 0$)時,文獻[9]給出了系統共存解存在的充分必要條件. 在文獻[9]的基礎上,本文將獵物追逐食餌以及食餌躲避獵物的因素引入模型,討論它們對物種共存的影響.

    從數學上看,系統(1)是強耦合的非線性偏微分方程組,交錯擴散的引入給理論分析帶來了很大困難. 因此,本文在數學技巧上與文獻[9]不同,為了克服系統(1)的強耦合性,我們引入了一個巧妙地變換. 另一方面,本文中的交錯擴散項與文獻[11]中出現的交錯擴散項形式上盡管相同,但是生物意義完全不同. 文獻[11]中的交錯擴散表示食餌趨向于獵物,而獵物躲避食餌的情形.

    • 在本節中,運用不動點指數定理,我們導出系統(1)正解存在的充分條件. 首先,我們引用一些理論結果.

      $E$ 是一個Banach空間,$W$$E$ 的自然正錐. 對于 $y \in \Omega $,令 ${W_y} = \left\{ {x \in E:{\text{存在}} \gamma > 0, {\text{使得}} y + \gamma x \in W} \right\}$, ${S_y} = \left\{ {x \in {{\overline W }_y}: - x \in {{\overline W }_y}} \right\}$. 設 ${y_*}$ 是緊算子 $A$:$W \to W$ 的不動點,$L = A'({y_*})$ 表示算子 $A$${y_*}$ 處的導算子. 如果存在 $t \in (0,1)$$y \in {\bar W_{{y^*}}}\backslash {S_{{y_*}}}$,使得 $y - tLy \in {S_{{y_*}}}$,則稱 $L$${\overline W _{{y_{\rm{*}}}}}$ 上具有 $\alpha $ 性質.

      定理1[12]  若 $I - L$${W_{{y_*}}}$ 上可逆且 $L$${\overline W _{{y_{\rm{*}}}}}$ 上具有 $\alpha $ 性質,則 ${\rm{inde}}{{\rm{x}}_W}(A,{y_*}) = 0$.

      對系統(1)進行等價變形. 令

      $\begin{split}\qquad{f_1}(u,v) = u(a - u) - {c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru}})v, {f_2}(u,v) = - dv + {c_2}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru}})v,\end{split}$

      則有

      $\qquad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \Delta u = \dfrac{1}{{1 + \alpha \beta }}\left[ {{f_1}(u,v) - \alpha {f_2}(u,v)} \right],}&{x \in \Omega ,}\\ { - \Delta v = \dfrac{1}{{1 + \alpha \beta }}\left[ {\beta {f_1}(u,v) + {f_2}(u,v)} \right],}&{x \in \Omega ,}\\ {u = v = 0,}&{x \in \partial \Omega .} \end{array}} \right.$

      將系統(2)的第1個方程乘以正常數 $\delta $(待定)后,被系統(2)的第2個方程所減得

      $\qquad - \Delta (v - \delta u) = \dfrac{1}{{1 + \alpha \beta }}[(\beta - \delta ){f_1}(u,v) + (1 + \alpha \delta ){f_2}(u,v)].$

      $\omega : = v - \delta u$,則有

      $\begin{split} \qquad - \Delta u =& \dfrac{1}{{1 + \alpha \beta }}\left[ {{f_1}(u,\omega + \delta u) - \alpha {f_2}(u,\omega + \delta u)} \right] =\\ &\dfrac{{a + \alpha d\delta }}{{1 + \alpha \beta }}u - \dfrac{1}{{1 + \alpha \beta }}\left[ {1 + ({c_1} + {c_2}\alpha )\delta \cdot \dfrac{{1 - {{\rm{e}}^{ - ru}}}}{u}} \right]{u^2} +\dfrac{1}{{1 + \alpha \beta }} \left[ {\alpha d - ({c_1} + {c_2}\alpha )(1 - {{\rm{e}}^{ - ru}})} \right] \omega : = {{\tilde f}_1}(u,\omega ), \end{split} $

      $\begin{split} \qquad - \Delta \omega = & \dfrac{1}{{1 + \alpha \beta }}\left[ {(\beta - \delta ){f_1}(u,\omega + \delta u) + (1 + \alpha \delta ){f_2}(u,\omega + \delta u)} \right] =\\ &\dfrac{1}{{1 + \alpha \beta }}\left\{ { - d(1 + \alpha \delta ) + [{c_2}(1 + \alpha \delta ) - (\beta - \delta ){c_1}](1 - {{\rm{e}}^{ - ru}})} \right\} \omega + \dfrac{{{M_1} + {M_2}u}}{{1 + \alpha \beta }}u : = {{\tilde f}_2}(u,\omega ), \\ \end{split} $

      其中

      $\qquad {M_1} = - d\delta (1 + \alpha \delta ) + a(\beta - \delta ),$

      $\begin{split}\qquad {M_2} =& - (\beta - \delta ) - {c_1}\delta (\beta - \delta )\left( {\frac{{1 - {{\rm{e}}^{ - ru}}}}{u}} \right) +{c_2}\delta (1 + \alpha \delta )\left( {\frac{{1 - {{\rm{e}}^{ - ru}}}}{u}} \right).\end{split}$

      從而系統(2)等價為

      $ \qquad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \Delta u = {{\tilde f}_1}(u,\omega ),}&{x \in \Omega ,}\\ { - \Delta \omega = {{\tilde f}_2}(u,\omega ),}&{x \in \Omega ,}\\ {(u,\omega ) = (0,0),}&{x \in \partial \Omega .} \end{array}} \right. $

      如果系統(5)有一個正解 $(u,\omega )$,則系數(1)就有一個正解 $(u,\;v)$, $v = \omega + \delta u$. 因此只要說明系統(5)至少存在一個正解就足以證明系數(1)至少有一個正解. 首先,我們證明系統(5)有如下的先驗估計成立.

      定理2 系統(5)的任意一個正解 $(u,\omega )$ 都滿足 $u \leqslant {Q_1}$,$\omega \leqslant {Q_2}$. 這里

      $\qquad{Q_1} = a + \frac{{{a^2}\alpha }}{{{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ra}})}} , {Q_2} = \frac{{(1 + \alpha \delta )a}}{\alpha } + \frac{{{a^2}}}{{{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ra}})}} .$

      證明 系統(5)的第1個方程與第2個方程分別乘以 ${1 + \alpha \delta }$$\alpha $ 后相加得

      $ \qquad - \Delta \left[ {\left( {1 + \alpha \delta } \right)u + \alpha \omega } \right] = u(a - u) - {c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru}})(\omega + \delta u).$

      $\left( {1 + \alpha \delta } \right)u + \alpha \omega $${x_0} \in \Omega $ 處取得正的最大值,則有

      $ \qquad a \geqslant u({x_0}) + \dfrac{{{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru({x_0})}})}}{{u({x_0})}}\omega ({x_0}) + {c_1}\delta (1 - {{\rm{e}}^{ - ru({x_0})}}),$

      所以有 $u({x_0}) \leqslant a$$\dfrac{{{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru({x_0})}})}}{{u({x_0})}}\omega ({x_0}) \leqslant a$.

      $g(u) = \dfrac{{1 - {{\rm{e}}^{ - ru}}}}{u}$,則 $g'(u) = \dfrac{{{{\rm{e}}^{ - ru}}(ru + 1) - 1}}{{{u^2}}}$. 由于當 $x > 0$${{\rm{e}}^x} > 1 + x$ 恒成立,從而 $g'(u) < 0$,即 $g(u)$$(0, + \infty )$ 單調遞減,所以 $g(u({x_0})) \geqslant \dfrac{{1 - {{\rm{e}}^{ - ra}}}}{a}$. 即有 ${c_1}g(a)\omega ({x_0}) \leqslant {c_1}g(u({x_0}))\omega ({x_0}) \leqslant a$ ,所以

      $ \qquad \omega ({x_0}) \leqslant \dfrac{a}{{{c_1}g(a)}} = \dfrac{{{a^2}}}{{{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ra}})}}.$

      通過上述推導容易得出

      $\begin{split}\qquad \mathop {\max }\limits_{x \in \overline \Omega } \left\{ {(1 + \alpha \delta )u + \alpha \omega } \right\} =(1 + \alpha \delta )u({x_0}) + \alpha \omega ({x_0}) \leqslant(1 + \alpha \delta )a + \dfrac{{{a^2}\alpha }}{{{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ra}})}},\end{split}$

      所以

      $\qquad \mathop {\max }\limits_{x \in \overline \Omega } u \leqslant a + \dfrac{{{a^2}\alpha }}{{{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ra}})(1 + \alpha \delta )}} \leqslant a + \dfrac{{{a^2}\alpha }}{{{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ra}})}}: = {Q_1},$

      $ \qquad \mathop {\max }\limits_{x \in \overline \Omega } \omega \leqslant \frac{{(1 + \alpha \delta )a}}{\alpha } + \frac{{{a^2}}}{{{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ra}})}}: = {Q_2}.$

      證畢.

      令(3)式中 ${M_1} = 0$,得

      $\begin{split}\qquad \delta = \dfrac{{ - \left( {a + d} \right) + \sqrt {{{(a + d)}^2} + 4ad\alpha \beta } }}{{2\alpha d}}\;, \;\beta - \delta = \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )\delta }}{a} > 0.\end{split}$

      下面分析(4)式中 ${M_2} \geqslant 0$ 成立的充分條件,有下面結論成立.

      引理1 如果條件 $\;\beta \leqslant \dfrac{{{c_2}}}{{{c_1}}} - \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{{{c_1}ag({Q_1})}}$ 成立,則 ${M_2} \geqslant 0$,其中 $g({Q_1}) = \dfrac{{1 - {{\rm{e}}^{ - r{Q_1}}}}}{{{Q_1}}}$, ${Q_1}$ 由定理2給出.

      證明 首先,注意到 ${M_2} \geqslant 0$ 等價于

      $ \qquad \delta \left[ {{c_2}(1 + \alpha \delta ) - (\beta - \delta ){c_1}} \right] \cdot \dfrac{{1 - {{\rm{e}}^{ - ru}}}}{u} \geqslant \beta - \delta .$

      引理①數條件成立意味著 ${c_2}(1 + \alpha \delta ) - (\beta - \delta ){c_1} = {c_2} - \beta {c_1} + {c_2}\alpha \delta + \delta {c_1} > 0$. 此時,(7)式等價于

      $ \qquad \dfrac{\beta }{\delta } \leqslant 1 + \left[ {{c_2}(1 + \alpha \delta ) - (\beta - \delta ){c_1}} \right] \cdot g(u),$

      由于 $g(u)$$(0, + \infty )$ 單調遞減,從而 $g(u) \geqslant g({Q_1})$.

      另一方面,由 $\beta - \delta = \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )\delta }}{a}$,得 $\dfrac{\beta }{\delta } = 1 +\dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{a}$,將其代入(8)式并結合 $g(u) < r$ 得(8)式成立的充分條件為 $\dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{a} \leqslant ({c_2} - \beta {c_1}) \cdot g({Q_1})$,整理即得

      $ \qquad \beta \leqslant \dfrac{1}{{{c_1}}}\left[ {{c_2} - \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{{a \cdot g({Q_1})}}} \right] = \dfrac{{{c_2}}}{{{c_1}}} - \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{{{c_1}ag({Q_1})}}. $

      證畢.

      注1 由 $\delta $ 的表達式(6)知,當 $\beta \to 0$(此時 $\delta \to 0$)時或者 ${c_2}$ 充分大時,引理1的條件總成立.

      $P$為滿足$P \geqslant \max \left\{ (1 + {c_1}\delta r + {c_2}\alpha \delta r){Q_1}, d(1 + \alpha \delta ), \;{c_1}(\beta - \delta ) \right\}$ 的正常數. 則${\tilde f_1}(u,\;\omega ) + Pu,{\tilde f_2} (u,\;\omega ) + P\omega$分別關于 $u$$\omega $ 單調遞增. 為了后面計算的方便,引入下列記號:

      (1) ${\lambda _1}$ 是齊次Dirichlet邊界條件下$ - \Delta $ 算子的主特征值,${\varphi _1}$ 為對應的主特征函數;

      (2) $E: = {C_D}(\overline \Omega ) \oplus {C_D}(\overline \Omega )$,其中 ${C_D}(\overline \Omega ): = \Big\{ \phi \in C(\overline \Omega ): \phi {|_{\partial \Omega }} = 0 \Big\};$

      (3) $N: = {N_Q} \oplus {N_Q}$,其中 ${N_Q}: = \Big\{ \phi \in {C_D}(\overline \Omega ):\phi < \max \left\{ {{Q_1},{Q_2}} \right\} + 1,x \in \Omega \Big\};$

      (4) $W: = K \oplus K$,其中 $K: = \Big\{ \phi \in {C_D}(\overline \Omega ):0 \leqslant \phi (x), x \in \Omega \Big\};$

      (5) $N' = N \cap W .$

      顯然,當引理1的條件成立時,${M_2} \geqslant 0$,此時算子 $A$$N'$ 中為正算子. 下面,我們總要求 $\beta \leqslant \dfrac{{{c_2}}}{{{c_1}}} - \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{{{c_1}ag({Q_1})}}$ 成立. 易見,系統(5)的正解就是算子 $A$$N'$ 中的不動點. 因此,算子 $A$$N'$ 中有不動點就足以說明系統(5)有正解. 由于系統(5)沒有半平凡解,因此,我們只需通過計算 ${\rm{inde}}{{\rm{x}}_W}(A,N')$${\rm{inde}}{{\rm{x}}_W}(A,(0,0))$ 來研究系統(5)正解的存在性.

      引理2 假設 $\;\beta \leqslant \dfrac{{{c_2}}}{{{c_1}}} - \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{{{c_1}ag({Q_1})}}$ 成立,則 ${\rm{inde}}{{\rm{x}}_W}(A,N') = 1$.

      證明 定義一個同倫映射 ${A_\theta }$:$E \to E$ , ${A_\theta }(u,\omega ) = {( - \Delta + P)^{ - 1}}\left( \begin{array}{l} \theta \left[ {{{\tilde f}_1}(u,\omega ) + Pu} \right] \\ \theta \left[ {{{\tilde f}_2}(u,\omega ) + P\omega } \right] \\ \end{array} \right),$

      其中 $\theta \in \left[ {0,\;1} \right]$. 由于 ${A_0}$ 為常映射,則 ${\rm{index}}_W({A_0},\;N')= 1$.類似于定理2的證明過程可以證明,對 $\forall \theta \in \left[ {0,1} \right]$, ${A_\theta }$ 的不動點都在 $N'$ 內,因而在邊界 $\partial \Omega $ 上沒有 ${A_\theta }$ 的不動點,故 $\deg (I - {A_\theta },\;N',\;0)$ 有意義,所以由同倫不變性得${\rm{inde}}{{\rm{x}}_W}({A_1},N'){\rm{ = inde}}{{\rm{x}}_W}({A_0},N') = 1. $證畢.

      引理3 假設 $\;\beta \leqslant \dfrac{{{c_2}}}{{{c_1}}} - \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{{{c_1}ag({Q_1})}}$ 成立,如果 ${\lambda _1} < \dfrac{{a + \alpha d\delta }}{{1 + \alpha \beta }}$,則 ${\rm{inde}}{{\rm{x}}_W}(A,(0,0)){\rm{ = 0}}$.

      證明 通過計算,我們知道 ${\overline W _{(0,0)}} = W$,${S_{(0,0)}} = \{ (0,0)\} $,

      $ \qquad L = A'(0,0) = {( - \Delta + P)^{ - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\dfrac{{a + \alpha d\delta }}{{1 + \alpha \beta }} + P}&{\dfrac{{\alpha d}}{{1 + \alpha \beta }}} \\ 0&{ - \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{{1 + \alpha \beta }} + P} \end{array}} \right).$

      假設存在 $(\phi ,\psi ) \in W$,使得 $L{(\phi ,\psi )^{\rm{T}}} = {(\phi ,\psi )^{\rm{T}}}$,則有

      $ \qquad \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} { - \Delta \phi = \dfrac{{a + \alpha d\delta }}{{1 + \alpha \beta }}\phi + \dfrac{{\alpha d}}{{1 + \alpha \beta }}\psi ,}&{x \in \Omega ,}\\ { - \Delta \psi = - \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{{1 + \alpha \beta }}\psi ,}&{x \in \Omega ,}\\ {(\phi ,\psi ) = (0,0),}&{x \in \partial \Omega .} \end{array}} \right. $

      利用強最大值原理,可以得到在 $\overline \Omega $$\psi \equiv 0$. 下面說明 $\phi \equiv 0$. 如果 $\phi $ 不恒為零,則由于 $\phi \in W$,從而 $x \in \Omega , \phi > 0$. 此時(9)式意味著 ${\lambda _1} = \dfrac{{a + \alpha d\delta }}{{1 + \alpha \beta }}$,這與已知條件矛盾.$\left( {\phi ,\psi } \right) \equiv (0,0)$ 表明 $L$ 不以1為特征值,即 $I - L$$W$ 上可逆.

      易于驗證 $L$${\overline W _{(0,0)}}$ 上具有 $\alpha $ 性質. 事實上,取 $y = ({\varphi _1},0)$ 以及 $t =\dfrac{{P + {\lambda _1}}}{{P + \dfrac{{a + \alpha d\delta }}{{1 + \alpha \beta }}}}$,這里 ${\varphi _1}(x)$$ - \Delta $ 算子在齊次Dirichlet邊界條件下的主特征函數,即可驗證 $t \in (0,1)$,$(\phi ,0) \in {\overline W _{(0,0)}}\backslash {S_{(0,0)}}$ ,且 ${(\phi ,0)^{\rm{T}}} - tL{(\phi ,0)^{\rm{T}}} \in {S_{(0,0)}}$. 由定理1可得,${\rm{inde}}{{\rm{x}}_W}(A,(0,0)){\rm{ = 0}}$. 證畢.

      通過引理2和引理3,我們得到 ${\rm{inde}}{{\rm{x}}_W}(A,(0,0)) \ne {\rm{inde}}{{\rm{x}}_W}(A,N')$,所以得到了系統(1)存在正平衡解的充分條件.

      定理3 設 $\;\beta \leqslant \dfrac{{{c_2}}}{{{c_1}}} - \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{{{c_1}ag({Q_1})}}$. 當 ${\lambda _1} < \dfrac{{a + \alpha d\delta }}{{1 + \alpha \beta }}$ 時,系統(1)至少有一個正解,其中

      $ \qquad \delta = \frac{{ - \left( {a + d} \right) + \sqrt {{{(a + d)}^2} + 4ad\alpha \beta } }}{{2\alpha d}}.$

      推論1  (1) 若 $\;\beta \leqslant \min \left\{ {\dfrac{{{c_2}}}{{{c_1}}} - \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{{{c_1}ag({Q_1})}},\dfrac{{a - {\lambda _1}}}{{\alpha {\lambda _1}}}} \right\}$,則系統(1)至少有一個正解.

      (2) 若 $\dfrac{{a - {\lambda _1}}}{{\alpha {\lambda _1}}} < \beta < \min \left\{ {\dfrac{{{c_2}}}{{{c_1}}} - \dfrac{{d(1 + \alpha \delta )}}{{{c_1}ag({Q_1})}},\dfrac{{({\lambda _1} + d)(a - {\lambda _1})}}{{\alpha {\lambda _1}^2}}} \right\}$ ,則系統(1)至少有一個正解.

      證明 (1)因為 $\;\beta \leqslant \dfrac{{a - {\lambda _1}}}{{\alpha {\lambda _1}}}$,所以 $(1 + \alpha \beta ){\lambda _1} \leqslant a$ , 從而 ${\lambda _1} < \dfrac{{a + \alpha d\delta }}{{1 + \alpha \beta }}$ . 因此,由定理3可知,結論(1)成立.

      (2)將 $\delta $ 的表達式代入下式

      $\qquad {\lambda _1}\left( {1 + \alpha \beta } \right) - \alpha d\delta - a = \frac{1}{2}\left[ {2{\lambda _1}(1 + \alpha \beta ) - a + d - \sqrt {{{(a + d)}^2} + 4ad\alpha \beta } } \right].$

      條件 $\dfrac{{a - {\lambda _1}}}{{\alpha {\lambda _1}}} < \beta$ 成立意味著 $2{\lambda _1}(1 + \alpha \beta ) > 2a > a - d$ 成立,即 $2{\lambda _1}(1 + \alpha \beta ) - a + d > 0$ 成立. 條件$\;\beta < \dfrac{{({\lambda _1} + d)(a - {\lambda _1})}}{{\alpha {\lambda _1}^2}}$成立意味著上式中

      $ \qquad {\left[ {2{\lambda _1}(1 + \alpha \beta ) - a + d} \right]^2} - \left[ {{{(a + d)}^2} + 4ad\alpha \beta } \right] = 4(1 + \alpha \beta )\left[ {{\lambda _1}^2\alpha \beta - (a - {\lambda _1})(d + {\lambda _1})} \right] < 0,$

      因而 ${\lambda _1}(1 + \alpha \beta ) - \alpha d\delta - \alpha < 0$ , 即 ${\lambda _1} < \dfrac{{a + \alpha d\delta }}{{1 + \alpha \beta }}$ 成立. 由定理3可知,此時系統(1)至少有一個正解. 證畢.

      注2 推論1的結論(1)表明,存在一個正常數 $\hat \beta : = \;\beta (a,d,r,\alpha ,{c_1},{c_2},{\lambda _1})$,使得 $\;\beta \leqslant \hat \beta $ 時,系統(2)至少有一個正解. 生物意義為當食餌的內稟增長率 $a$ 大于 ${\lambda _1}$ 時,只要獵物追逐食餌的力度不超過臨界值 $\hat \beta$,2個物種就能共存.

    • 定理4 (1) 如果 ${\lambda _1} \geqslant \max \left\{ {a, - d + {c_2}(1 - {{\rm{e}}^{ - r{Q_1}}})} \right\}$,則系統(1)沒有正解;

      (2) 存在正常數 $\bar \beta : = \bar \beta (a,d,\alpha ,{\lambda _1})$ , 當 $\;\beta \geqslant \bar \beta $ 時,系統(1)沒有正解;

      (3) 存在正常數 $\bar \alpha : = \bar \alpha (a,d,\beta ,{\lambda _1})$ , 當 $\alpha \geqslant \bar \alpha $ 時,系統(1)沒有正解.

      證明 (1)設 $(u,v)$ 是系統(1)的一個正解,系統(1)的第1個方程和第2個方程分別乘以 $u,v$,并在 $\Omega $ 上積分得

      $ \qquad \left\{ \begin{array}{l} \alpha \displaystyle \int_\Omega {\nabla u\nabla v{\rm{d}}x = \int_\Omega {\left[ {{u^2}(a - u) - {c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru}})uv} \right]{\rm{d}}x - \int_\Omega {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}{\rm{d}}x , } } } \\ - \beta \displaystyle \int_\Omega {\nabla u\nabla v{\rm{d}}x = \int_\Omega {\left[ { - d{v^2} + {c_2}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru}}){v^2}} \right]{\rm{d}}x - \int_\Omega {{{\left| {\nabla v} \right|}^2}{\rm{d}}x .} } } \\ \end{array} \right.$

      $\delta = 0$ 時,系統(1)與系統(5)等價. 由定理2得到,$(u,v)$ 滿足

      $ \qquad u(x) \leqslant a + \frac{{{a^2}\alpha }}{{{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ra}})}} , v(x) = \frac{a}{\alpha } + \frac{{{a^2}}}{{{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ra}})}} .$

      對(10)式的2個式子分別應用Poincaré不等式,有

      $ \qquad \alpha \int_\Omega {\nabla u\nabla v{\rm{d}}x \leqslant \int_\Omega {{u^2}(a - {\lambda _1}){\rm{d}}x - \int_\Omega {{u^3}} {\rm{d}}x - \int_\Omega {{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru}})uv} {\rm{d}}x} } , $

      $ \qquad - \beta \int_\Omega {\nabla u\nabla v{\rm{d}}x \leqslant \int_\Omega {{v^2}\left[ { - d + {c_2}(1 - {{\rm{e}}^{ - r{Q_1}}}) - {\lambda _1}} \right]{\rm{d}}x .} } $

      假設定理4的結論(1)不成立,則(11)式與(12)式相矛盾,結論(1)證畢.

      (2)設 $(u,v)$ 是系統(1)的一個正解,系統(1)的第1個方程和第2個方程分別乘以 $v,u$,并在 $\Omega $ 上積分可得

      $ \qquad \alpha {\int_\Omega {\left| {\nabla v} \right|} ^2}{\rm{d}}x + \beta \int_\Omega {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}{\rm{d}}x - } \int_\Omega {(a + d)uv{\rm{d}}x} = - \int_\Omega {uv{c_2}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru}}){\rm{d}}x - } \int_\Omega {{u^2}v{\rm{d}}x - \int_\Omega {{c_1}(1 - {{\rm{e}}^{ - ru}}){v^2}{\rm{d}}x} } < 0 .$

      在(13)式的左端應用Poincaré不等式以及 $\varepsilon $-Young不等式得

      $ \qquad \alpha {\int_\Omega {\left| {\nabla v} \right|} ^2}{\rm{d}}x + \beta \int_\Omega {{{\left| {\nabla u} \right|}^2}{\rm{d}}x - } \int_\Omega {(a + d)uv{\rm{d}}x} \geqslant \left( {\alpha {\lambda _1} - \frac{{(a + d)\varepsilon }}{2}} \right)\int_\Omega {{v^2}} {\rm{d}}x + \left( {\beta {\lambda _1} - \frac{{a + d}}{{2\varepsilon }}} \right)\int_\Omega {{u^2}} {\rm{d}}x,$

      其中 $\varepsilon $ 為任意正常數. 現取定一個正常數 ${\varepsilon _0}$ 滿足 ${\varepsilon _0} \leqslant \dfrac{{2\alpha {\lambda _1}}}{{a + d}}$. 則當 $\;\beta \geqslant \bar \beta : = \dfrac{{a + d}}{{2{\varepsilon _0}{\lambda _1}}}$ 時,(13)式的左端是非負的,矛盾,結論(2)得證.

      類似于(2)的分析可證結論(3)成立. 證畢.

      注3 定理4表明,如果食餌的交錯擴散率或者捕食者的交錯擴散率充分大時,食餌與捕食者不能共存. 生物學上,這意味著食餌躲避捕食者的能力過強,或者捕食者追逐食餌的能力過強,都會導致食餌和捕食者不能共存.

參考文獻 (12)

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